解析的整数論の問題

1. 約数和の書き換え. $n$ の正の約数 $d$ に対し $n/d$ も約数で、$d\mapsto n/d$ は約数全体の全単射だから
$$\frac{\sigma (n)}{n}=\frac{1}{n}\sum _{d\mid n}\frac{n}{d}=\sum _{d\mid n}\frac{1}{d}.$$

2. 和の順序交換. $n$ が奇数であることと、$n=dm$ と書いたとき $d,m$ がともに奇数であることは同値である。よって
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ n\text{奇数}\end{array}}\sum _{d\mid n}\frac{1}{d}=\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{奇数}\end{array}}\frac{1}{d}N\left(\frac{x}{d}\right),$$
ここで $N(y)$ は $y$ 以下の正の奇数の個数である。$N(y)=\lfloor \frac{y+1}{2}\rfloor$ なので $N(y)=\frac{y}{2}+O(1)$（$|N(y)-y/2|\le 1$）。

3. 主要項と誤差.
$$S(x)=\frac{x}{2}\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{奇数}\end{array}}\frac{1}{d^2}+O\left(\sum _{d\le x}\frac{1}{d}\right).$$
誤差項は $O(\log x+1)$。また
$$\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{奇数}\end{array}}\frac{1}{d^2}=\sum _{d\text{奇数}}\frac{1}{d^2}-\sum _{\begin{array}{c}d>x\\ d\text{奇数}\end{array}}\frac{1}{d^2}=\sum _{d\text{奇数}}\frac{1}{d^2}+O\left(\frac{1}{x}\right).$$
奇数の逆数の 2 乗の和は、全体から偶数の分を引いて
$$\sum _{d\text{奇数}}\frac{1}{d^2}=\sum _{d=1}^{\infty }\frac{1}{d^2}-\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k{)}^2}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^2}{8}.$$
したがって
$$S(x)=\frac{x}{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{8}+O(\log x+1)=\frac{{\pi }^2}{16}x+O(\log x+1).$$

4. 結論. 両辺を $x$ で割って $x\to \infty$ とすると $(\log x+1)/x\to 0$ より
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}=\frac{{\pi }^2}{16}.$$

$\frac{\sigma (n)}{n}={\sum }_{d\mid n}\frac{1}{d}$ である。$n$ が奇数なら約数 $d$ も奇数なので
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}n\le x\\ n\text{ 奇数}\end{array}}\sum _{d\mid n}\frac{1}{d}=\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{ 奇数}\end{array}}\frac{1}{d}{N}_d(x),$$
ここで $N_d(x)=\#\{n\le x:n\text{ は奇数},d\mid n\}$（$d$ は奇数）。$n=dm$ とおくと $m$ は奇数で $m\le x/d$ なので、$N_d(x)=\frac{x}{2d}+{\theta }_d$、$|{\theta }_d|\le 1$。

よって
$$S(x)=\frac{x}{2}\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{ 奇数}\end{array}}\frac{1}{d^2}+\sum _{\begin{array}{c}d\le x\\ d\text{ 奇数}\end{array}}\frac{{\theta }_d}{d}.$$
誤差項は $O(\log x)$。第 1 項の和は $x\to \infty$ で ${\sum }_{d\text{ 奇数}}{d}^{-2}$ に収束し、その裾は $O(1/x)$ なので $\frac{x}{2}\cdot O(1/x)=O(1)$。したがって
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}=\frac{1}{2}\sum _{d\text{ 奇数}}\frac{1}{d^2}.$$

${\sum }_{d\text{ 奇数}}{d}^{-2}={\sum }_{n\ge 1}{n}^{-2}-{\sum }_{n\ge 1}(2n{)}^{-2}=\frac{{\pi }^2}{6}\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{{\pi }^2}{8}$。

ゆえに極限は $\frac{1}{2}\cdot \frac{{\pi }^2}{8}=\frac{{\pi }^2}{16}$。

検算: ${\pi }^2/16\approx 0.617$。奇数 $n$ では $\sigma (n)/n\ge 1$ であり、$n=1,3,5,7,9$ で $1,4/3,6/5,8/7,13/9$、平均は約 1.23。これを奇数の密度 $1/2$ にかけると約 $0.62$ で、${\pi }^2/16$ と整合する。