解析的整数論の問題

方針（畳み込みへの分解） $d\mid n$ のとき $n/d$ も $n$ の約数を一通り動くので
$${\sigma }_3(n)=\sum _{d\mid n}{\left(\frac{n}{d}\right)}^3=\sum _{d\mid n}g(d){\left(\frac{n}{d}\right)}^3,g(d)=1$$
と書ける。つまり ${\sigma }_3={\mathrm{id}}^3\ast g$（$g\equiv 1$）であり、$k=3$ の場合に当たる。

和の入れかえ $n=dm$ とおくと
$$S(x)=\sum _{dm\le x}{m}^3=\sum _{d\le x}\sum _{m\le x/d}{m}^3.$$
$y\ge 1$ に対して ${\sum }_{m\le y}{m}^3=\frac{\lfloor y{\rfloor }^2(\lfloor y\rfloor +1{)}^2}{4}$ であり、$y-1<\lfloor y\rfloor \le y$ から
$$\sum _{m\le y}{m}^3=\frac{y^4}{4}+O(y^3)$$
（$y<1$ のときは和は $0$ で、これも $\frac{y^4}{4}+O(y^3)$ に含まれる）。よって
$$S(x)=\frac{x^4}{4}\sum _{d\le x}\frac{1}{d^4}+O\left(x^3\sum _{d\le x}\frac{1}{d^3}\right).$$

評価 ${\sum }_{d\ge 1}\frac{1}{d^3}$ は収束するので誤差項は $O(x^3)$。また
$$\sum _{d\le x}\frac{1}{d^4}=\zeta (4)-\sum _{d>x}\frac{1}{d^4}=\zeta (4)+O(x^{-3})$$
なので
$$S(x)=\frac{\zeta (4)}{4}{x}^4+O(x^3).$$

極限 両辺を $x^4$ で割って $x\to \infty$ とすると
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^4}=\frac{\zeta (4)}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{{\pi }^4}{90}=\frac{{\pi }^4}{360}.$$

${\sigma }_3(n)={\sum }_{d\mid n}{d}^3$ なので、$S(x)={\sum }_{dm\le x}{d}^3={\sum }_{m\le x}{\sum }_{d\le x/m}{d}^3$ と書ける（$n=dm$ と分解して数え方を入れ替えた）。

$y\ge 1$ のとき ${\sum }_{d\le y}{d}^3=\frac{\lfloor y{\rfloor }^2(\lfloor y\rfloor +1{)}^2}{4}=\frac{y^4}{4}+O(y^3)$。よって
$$S(x)=\sum _{m\le x}\left(\frac{x^4}{4m^4}+O\left(\frac{x^3}{m^3}\right)\right)=\frac{x^4}{4}\sum _{m\le x}\frac{1}{m^4}+O\left(x^3\sum _{m\ge 1}\frac{1}{m^3}\right).$$
${\sum }_{m\le x}{m}^{-4}=\zeta (4)-O(x^{-3})$ であり、$\sum m^{-3}$ は収束するから、$S(x)=\frac{\zeta (4)}{4}{x}^4+O(x^3)$。

（誤差項の根拠: $\lfloor y\rfloor \le y<\lfloor y\rfloor +1$ より $\frac{y^4}{4}$ との差は $O(y^3)$ であり、$m\le x$ では $y=x/m\ge 1$ なので定数は一様に取れる。）

したがって ${\lim }_{x\to \infty }S(x)/x^4=\frac{\zeta (4)}{4}=\frac{{\pi }^4}{360}$。

検算: ディリクレ級数 $\sum {\sigma }_3(n)n^{-s}=\zeta (s)\zeta (s-3)$ の $s=4$ での留数は $\zeta (4)$ で、Perron の公式（または Tauberian 定理）より $S(x)\sim \frac{\zeta (4)}{4}{x}^4$ となり、一致する。