有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$（$s>1$）とし、$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。$6$ と互いに素な正の整数 $n$ 全体にわたる無限級数 $$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\frac{1}{n^2}$$ の値を求めよ。

正の実数 $x$ に対して、$x$ 以下の正の奇数で、$1$ より大きい平方数で割り切れないもの（すなわち奇数の平方因子をもたない数）の個数を $Q(x)$ とする。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Q(x)}{x}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

$\mathrm{Re}s>0$ で
$$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^s}$$
と定め、$\eta (s)$ を複素平面全体の正則関数に解析接続したものも同じ記号で表す。ベルヌーイ数 $B_k$ を
$$\frac{t}{e^t-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{B_k}{k!}{t}^k$$
で定めるとき、リーマンゼータ関数について正の整数 $k\ge 2$ に対し $\zeta (1-k)=-\frac{B_k}{k}$ が成り立つことは用いてよい。$\eta (-5)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ n\text{は奇数}\end{array}}\frac{\sigma (n)}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\text{は奇数}\end{array}}^{\infty }\frac{d(n{)}^2}{n^2}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{\begin{array}{c}1\le n\le x\\ \gcd (n,6)=1\end{array}}\sigma (n)$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また $\chi$ を法 $4$ の非自明なディリクレ指標とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$$
である。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)d(n{)}^2}{n^3}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\epsilon (n)$ を次で定める。
$$\epsilon (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,9(\mathrm{mod}10))\\ -1& (n\equiv 3,7(\mathrm{mod}10))\\ 0& (\gcd (n,10)>1)\end{array}$$
このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\epsilon (n)}{n^2}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

整数 $n$ に対して、$\chi (n)$ を法 $5$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{n}{5}\right)$ とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$
である。正の整数 $n$ に対して
$$a(n)=\sum _{d\mid n}\chi (d)$$
と定める（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）。このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(n{)}^2}{n^2}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ と、$t\notin \mathbb{Z}$ である実数 $t$ に対する等式 $\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+t{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi t)}$ は用いてよい。

$\chi$ を法 $3$ の原始的ディリクレ指標
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ -1& (n\equiv 2(\mathrm{mod}3))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}3))\end{array}$$
とし、正の整数 $n$ に対して $\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)2^{\omega (n)}}{n^3}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち、$n$ の素因数分解を $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ とするとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ であり、$\lambda (1)=1$ とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。正の奇数 $n$ 全体にわたる級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ n\text{ は奇数}\end{array}}\frac{\lambda (n)d(n^2)}{n^2}$$
の値を求めよ。