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解析的整数論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学解析的整数論

正の整数 $n$ に対し、 $d (n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、 $λ (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち、 $n$ の素因数分解を $n = p_{1}^{e_{1}} \dots p_{r}^{e_{r}}$ とするとき $λ (n) = (- 1)^{e_{1} + \dots + e_{r}}$ であり、 $λ (1) = 1$ とする。 $ζ (2) = \frac{π ^{2}}{6}$ 、 $ζ (4) = \frac{π ^{4}}{90}$ を用いてよい。正の奇数 $n$ 全体にわたる級数
$S = n \geq 1 n は奇数 \sum \frac{λ ( n ) d ( n ^{2} )}{n ^{2}}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

ディリクレ級数とオイラー積（説明と入口の問題）
指標でひねったディリクレ級数（説明と入口の問題）
有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ（説明と入口の問題）
リーマンゼータ関数の特殊値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（117 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

被加数は乗法的関数なので、絶対収束を確かめたうえでオイラー積に分解し、各素数での因子を計算する。

ヒント 2

$d (p^{2 k}) = 2 k + 1$ , $λ (p^{k}) = (- 1)^{k}$ であり、 $\sum_{k \geq 0} (2 k + 1) y^{k} = \frac{1 + y}{( 1 - y ) ^{2}}$ を使う。因子を $(1 - p^{- s})$ と $(1 - p^{- 2 s})$ のべきで表すとゼータ関数の比になる。

ヒント 3

各素数での因子は $\frac{( 1 - p ^{- 2} ) ^{3}}{( 1 - p ^{- 4} ) ^{2}}$ で、全素数での積は $ζ (4)^{2} / ζ (2)^{3}$ になる。最後に奇数に制限するため $p = 2$ の因子で割る。

答えと解説

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\frac{π ^{2}}{18}

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解説を読む

収束とオイラー積. $d (n^{2}) \leq d (n)^{2} = O (n^{ε})$ なので、級数は絶対収束する。 $f (n) = λ (n) d (n^{2}) \cdot 1_{n 奇数}$ は乗法的関数（ $λ$ , $n \mapsto d (n^{2})$ , 奇数の指示関数はいずれも乗法的）だから、絶対収束のもとでオイラー積
$S = p \geq 3 \prod (k = 0 \sum \infty \frac{f ( p ^{k} )}{p ^{2 k}})$
が成り立つ。

各素数での因子. $p$ を奇素数、 $x = p^{- 2}$ とおく。 $d (p^{2 k}) = 2 k + 1$ 、 $λ (p^{k}) = (- 1)^{k}$ だから
$k = 0 \sum \infty (2 k + 1) (- x)^{k} .$
$∣ y ∣ < 1$ で $\sum_{k \geq 0} (2 k + 1) y^{k} = \frac{1 + y}{( 1 - y ) ^{2}}$ なので、 $y = - x$ として因子は $\frac{1 - x}{( 1 + x ) ^{2}}$ である。さらに $1 + x = \frac{1 - x ^{2}}{1 - x}$ より
$\frac{1 - x}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{( 1 - x ) ^{3}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}} .$

全素数での積. すべての素数 $p$ でこの因子を掛けると、 $ζ (s) = \prod_{p} (1 - p^{- s})^{- 1}$ より
$p \prod \frac{( 1 - p ^{- 2} ) ^{3}}{( 1 - p ^{- 4} ) ^{2}} = \frac{ζ ( 4 ) ^{2}}{ζ ( 2 ) ^{3}} = \frac{π ^{8} /8100}{π ^{6} /216} = \frac{216 π ^{2}}{8100} = \frac{2 π ^{2}}{75} .$

$p = 2$ の因子を取り除く. $p = 2$ のとき $x = \frac{1}{4}$ で、因子は
$\frac{1 - \frac{1}{4}}{( 1 + \frac{1}{4} ) ^{2}} = \frac{3/4}{25/16} = \frac{12}{25} .$
$S$ は奇素数だけの積なので
$S = \frac{2 π ^{2}}{75} \cdot \frac{25}{12} = \frac{50 π ^{2}}{900} = \frac{π ^{2}}{18} .$

（検算: 最初の数項 $1 - \frac{3}{9} - \frac{3}{25} - \frac{3}{49} + \frac{5}{81} - \frac{3}{121} - \frac{3}{169} + \frac{9}{225} \approx 0.545$ で、 $π^{2} /18 \approx 0.548$ に近い。）

よって $S = \frac{π ^{2}}{18}$ 。

別解

$λ (n) d (n^{2})$ は乗法的関数なので、オイラー積で計算する。奇素数 $p$ に対し $x = p^{- 2}$ とおくと、局所因子は $\sum_{k \geq 0} (- 1)^{k} (2 k + 1) x^{k}$ である。 $y = - x$ として $\sum_{k \geq 0} (2 k + 1) y^{k} = \frac{1 + y}{( 1 - y ) ^{2}}$ より、局所因子は $\frac{1 - x}{( 1 + x ) ^{2}}$ となる。さらに $\frac{1}{1 + x} = \frac{1 - x}{1 - x ^{2}}$ なので $\frac{1 - x}{( 1 + x ) ^{2}} = \frac{( 1 - x ) ^{3}}{( 1 - x ^{2} ) ^{2}}$ 。

全素数にわたる積は $ζ (2)^{- 3} ζ (4)^{2}$ 。 $p = 2$ （ $x = 1/4$ ）の因子は $\frac{3/4}{( 5/4 ) ^{2}} = \frac{12}{25}$ なので、奇素数のみの積は
$S = \frac{25}{12} \cdot \frac{ζ ( 4 ) ^{2}}{ζ ( 2 ) ^{3}} = \frac{25}{12} \cdot \frac{π ^{8} /8100}{π ^{6} /216} = \frac{25}{12} \cdot \frac{2 π ^{2}}{75} = \frac{π ^{2}}{18} .$

検算: 級数は絶対収束する（ $d (n^{2}) ≪ n^{ε}$ ）。最初の項は $1 - \frac{1}{3} - \frac{3}{25} - \frac{3}{49} + \frac{5}{81} \approx 0.547$ で、 $π^{2} /18 \approx 0.5483$ に近い。

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