解析的整数論の問題

収束とオイラー積. ${\sigma }_2(n)\le n^2{\sum }_{d\mid n}{d}^{-2}\le \zeta (2)n^2$ より $\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}\le \frac{\zeta (2{)}^2}{n^2}$ なので、級数は絶対収束する。${\sigma }_2$ は乗法的なので ${\sigma }_2(n{)}^2$ も乗法的で、
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}=\prod _p\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\sigma }_2(p^k{)}^2{x}^k\right),x=p^{-6}.$$

各素数での因子. $q=p^2$ とおくと ${\sigma }_2(p^k)=1+q+\cdots +q^k=\frac{q^{k+1}-1}{q-1}$ だから
$${\sigma }_2(p^k{)}^2=\frac{q^{2k+2}-2q^{k+1}+1}{(q-1{)}^2}.$$
よって ($|x|$, $|qx|$, $|q^{2}x|<1$ に注意して)
$$\sum _{k\ge 0}{\sigma }_2(p^k{)}^2{x}^k=\frac{1}{(q-1{)}^2}\left(\frac{q^2}{1-q^{2}x}-\frac{2q}{1-qx}+\frac{1}{1-x}\right).$$
通分すると、分子は
$$q^2(1-qx)(1-x)-2q(1-q^{2}x)(1-x)+(1-qx)(1-q^{2}x).$$
展開して整理すると、定数項は $q^2-2q+1=(q-1{)}^2$、$x$ の係数は $(-q^2-q^3)+(2q+2q^3)+(-q-q^2)=q(q-1{)}^2$、$x^2$ の係数は $q^3-2q^3+q^3=0$。したがって分子は $(q-1{)}^2(1+qx)$ で、
$$\sum _{k\ge 0}{\sigma }_2(p^k{)}^2{x}^k=\frac{1+qx}{(1-x)(1-qx)(1-q^{2}x)}=\frac{1-q^2{x}^2}{(1-x)(1-qx{)}^2(1-q^{2}x)}.$$

ゼータ関数で表す. $x=p^{-6}$, $q=p^2$ を代入すると $qx=p^{-4}$, $q^{2}x=p^{-2}$, $q^2{x}^2=p^{-8}$ なので
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}=\prod _p\frac{1-p^{-8}}{(1-p^{-6})(1-p^{-4}{)}^2(1-p^{-2})}=\frac{\zeta (6)\zeta (4{)}^2\zeta (2)}{\zeta (8)}.$$

数値の代入.
$$\zeta (6)\zeta (4{)}^2\zeta (2)=\frac{{\pi }^6}{945}\cdot \frac{{\pi }^8}{8100}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=\frac{{\pi }^{16}}{45927000},$$
$$\frac{{\pi }^{16}}{45927000}\cdot \frac{9450}{{\pi }^8}=\frac{{\pi }^8}{4860}(45927000=9450\times 4860).$$

（検算: $n\le 10$ までの部分和は約 $1.813$。${\sum }_{n\le y}{\sigma }_2(n{)}^2/n^4\sim \frac{\zeta (5)\zeta (3{)}^2}{\zeta (6)}y\approx 1.47y$ から残りは約 $0.15$ で、合計約 $1.96$。${\pi }^8/4860\approx 1.952$ と合う。）

よって求める値は $\frac{{\pi }^8}{4860}$。

${\sigma }_2(n{)}^2/n^6$ の分子は乗法的なので、オイラー積で計算する。素数 $p$ について $u=p^{-s}$（$s=6$）とし、${\sigma }_a(p^k){\sigma }_b(p^k)$ の母関数にラマヌジャンの公式を用いる。

ラマヌジャンの恒等式: $\sum _{n\ge 1}\frac{{\sigma }_a(n){\sigma }_b(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}$。

（確認: 局所因子は ${\sum }_k{\sigma }_a(p^k){\sigma }_b(p^k)u^k=\frac{1-p^{a+b}{u}^2}{(1-u)(1-p^{a}u)(1-p^{b}u)(1-p^{a+b}u)}$ で、これは上の右辺の局所因子に一致する。）

$a=b=2$、$s=6$ を代入して
$$S=\frac{\zeta (6)\zeta (4{)}^2\zeta (2)}{\zeta (8)}=\frac{\frac{{\pi }^6}{945}\cdot \frac{{\pi }^8}{8100}\cdot \frac{{\pi }^2}{6}}{\frac{{\pi }^8}{9450}}={\pi }^8\cdot \frac{9450}{945\cdot 8100\cdot 6}=\frac{10{\pi }^8}{48600}=\frac{{\pi }^8}{4860}.$$

検算: ${\pi }^8/4860\approx 1.952$。級数の $n\le 10$ までの部分和は約 $1.81$ で、正の項の残りの和（$n^{-2}$ 程度の減衰で $0.1$ 前後）を考えると整合する。