解析的整数論の問題

乗法性 $n=\prod p^{a_p}$ と素因数分解すると $n^2=\prod p^{2a_p}$ なので $d(n^2)=\prod (2a_p+1)$ である。よって $f(n)=d(n^2)$ は乗法的関数である。また $d(n^2)\le d(n{)}^2=O(n^{\epsilon })$ なので、ディリクレ級数 $F(s)={\sum }_{n\ge 1}d(n^2)n^{-s}$ は $\mathrm{Re}s>1$ で絶対収束し、オイラー積
$$F(s)=\prod _p\sum _{k=0}^{\infty }\frac{d(p^{2k})}{p^{ks}}=\prod _p\sum _{k=0}^{\infty }(2k+1)X^k(X=p^{-s})$$
をもつ。

局所因子の計算 $|X|<1$ で ${\sum }_{k\ge 0}{X}^k=\frac{1}{1-X}$, ${\sum }_{k\ge 0}k{X}^k=\frac{X}{(1-X{)}^2}$ だから
$$\sum _{k=0}^{\infty }(2k+1)X^k=\frac{2X}{(1-X{)}^2}+\frac{1}{1-X}=\frac{2X+(1-X)}{(1-X{)}^2}=\frac{1+X}{(1-X{)}^2}.$$
これを
$$\frac{1+X}{(1-X{)}^2}=\frac{(1-X)(1+X)}{(1-X{)}^3}=\frac{1-X^2}{(1-X{)}^3}$$
と書き直す。

ゼータ関数で表す $\zeta (s)={\prod }_p(1-p^{-s}{)}^{-1}$, $\zeta (2s{)}^{-1}={\prod }_p(1-p^{-2s})$ より
$$F(s)=\prod _p\frac{1-p^{-2s}}{(1-p^{-s}{)}^3}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}(\mathrm{Re}s>1).$$

値の計算 $s=2$ を代入すると
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{d(n^2)}{n^2}=\frac{\zeta (2{)}^3}{\zeta (4)}=\frac{{\pi }^6/216}{{\pi }^4/90}=\frac{90{\pi }^2}{216}=\frac{5{\pi }^2}{12}.$$

$d(n^2)$ は乗法的で、素数べき $p^k$ に対し $d(p^{2k})=2k+1$ である。よって $s>1$ でオイラー積を取ると
$$\sum _{n\ge 1}\frac{d(n^2)}{n^s}=\prod _p\left(1+\sum _{k\ge 1}\frac{2k+1}{p^{ks}}\right).$$
$u=p^{-s}$ とおくと ${\sum }_{k\ge 0}(2k+1)u^k=\frac{2u}{(1-u{)}^2}+\frac{1}{1-u}=\frac{1+u}{(1-u{)}^2}$。さらに $\frac{1+u}{(1-u{)}^2}=\frac{1-u^2}{(1-u{)}^3}$ なので
$$\prod _p\frac{1-p^{-2s}}{(1-p^{-s}{)}^3}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}.$$
$s=2$ のとき（絶対収束するので代入してよい）
$$\frac{\zeta (2{)}^3}{\zeta (4)}=\frac{{\pi }^6/216}{{\pi }^4/90}=\frac{90{\pi }^2}{216}=\frac{5{\pi }^2}{12}.$$

検算: 数値的に $\frac{5{\pi }^2}{12}\approx 4.112$。級数の最初の項は $n=1$: 1、$n=2$: $d(4)/4=3/4$、$n=3$: $3/9=0.333$、$n=4$: $d(16)/16=5/16=0.3125$、$n=5$: $0.12$、$n=6$: $d(36)/36=9/36=0.25$、... と和を取ると約 2.8 で、残りの項（$n\ge 7$）が $d(n^2)/n^2$ の緩やかな減衰で 4.1 程度まで積み上がることと矛盾しない。また素数 2 の局所因子のみで $\frac{1+1/4}{(1-1/4{)}^2}=\frac{20}{9}$ が $1+3/4+5/16+\cdots$ と一致することも確認できる。