ディリクレ級数とオイラー積

正の整数 $n$ に対し、$\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。また $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^s}$ とし、$$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90},\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$$ を用いてよい。無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2^{\omega (n)}}{n^4}$$ は収束する。$S$ の値を求めよ。

正の実数 $x$ に対して、$x$ 以下の正の奇数で、$1$ より大きい平方数で割り切れないもの（すなわち奇数の平方因子をもたない数）の個数を $Q(x)$ とする。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{Q(x)}{x}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、デデキントのプサイ関数を
$$\psi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1+\frac{1}{p}\right)$$
で定める（積は $n$ を割り切る素数 $p$ 全体にわたり、$\psi (1)=1$ とする）。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^2}\sum _{n\le x}\psi (n)$$
の値を求めよ。ただし $x$ は正の実数で、和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。実数 $x\ge 2$ に対して
$$T(x)=\sum _{1\le n\le x}\frac{d(n{)}^2}{n}$$
とおく。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{T(x)}{(\log x{)}^4}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とし、$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$ を用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n=1\\ n\text{は奇数}\end{array}}^{\infty }\frac{d(n{)}^2}{n^2}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラー関数とする。正の実数 $x$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める（和は $x$ 以下の正の整数 $n$ 全体にわたる）。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。必要ならば $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。

正の整数 $m$ に対して、$d(m)$ を $m$ の正の約数の個数とする。無限級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{d(n^2)}{n^2}$$
は収束する。その値を求めよ。ただし $\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ について $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$, $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また $\chi$ を法 $4$ の非自明なディリクレ指標とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}4))\\ -1& (n\equiv 3(\mathrm{mod}4))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}2))\end{array}$$
である。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)d(n{)}^2}{n^3}$$
は絶対収束する。$S$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、$\mu (n)$ をメビウス関数、$\sigma (n)$ を $n$ の正の約数の総和、$\phi (n)$ をオイラーの関数とする。実数 $x\ge 1$ に対して
$$S(x)=\sum _{1\le n\le x}\mu (n{)}^2\frac{\sigma (n)}{\phi (n)}$$
と定める。極限
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{S(x)}{x}$$
は存在する。その値を求めよ。ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ は用いてよい。

整数 $n$ に対して、$\chi (n)$ を法 $5$ のルジャンドル記号 $\left(\frac{n}{5}\right)$ とする。すなわち
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$
である。正の整数 $n$ に対して
$$a(n)=\sum _{d\mid n}\chi (d)$$
と定める（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）。このとき無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a(n{)}^2}{n^2}$$
は収束する。$S$ の値を求めよ。

ただし $\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ と、$t\notin \mathbb{Z}$ である実数 $t$ に対する等式 $\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{1}{(n+t{)}^2}=\frac{{\pi }^2}{{\sin }^2(\pi t)}$ は用いてよい。

$\chi$ を法 $3$ の原始的ディリクレ指標
$$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1(\mathrm{mod}3))\\ -1& (n\equiv 2(\mathrm{mod}3))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}3))\end{array}$$
とし、正の整数 $n$ に対して $\omega (n)$ を $n$ の相異なる素因数の個数とする（$\omega (1)=0$）。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)2^{\omega (n)}}{n^3}$$
の値を求めよ。ただし $\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$ は用いてよい。

正の整数 $n$ に対し、$d(n)$ を $n$ の正の約数の個数とし、$\lambda (n)$ をリウヴィル関数とする。すなわち、$n$ の素因数分解を $n=p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ とするとき $\lambda (n)=(-1{)}^{e_1+\cdots +e_r}$ であり、$\lambda (1)=1$ とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ を用いてよい。正の奇数 $n$ 全体にわたる級数
$$S=\sum _{\begin{array}{c}n\ge 1\\ n\text{ は奇数}\end{array}}\frac{\lambda (n)d(n^2)}{n^2}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し、${\sigma }_2(n)=\sum _{d\mid n}{d}^2$（$d$ は $n$ の正の約数全体を動く）とする。$\zeta (2)=\frac{{\pi }^2}{6}$、$\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$、$\zeta (6)=\frac{{\pi }^6}{945}$、$\zeta (8)=\frac{{\pi }^8}{9450}$ を用いてよい。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\sigma }_2(n{)}^2}{n^6}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$f(n)=\#\{(a,b)\in {\mathbb{Z}}_{>0}^2:\mathrm{lcm}(a,b)=n\}$$
とおく（$\mathrm{lcm}(a,b)$ は $a,b$ の最小公倍数）。また、複素数 $s$ に対して $\sigma =\mathrm{Re}s$ と書き、$\sigma >1$ のとき $\zeta (s)={\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$ とする。

$\mathrm{Re}s>1$ を満たす任意の複素数 $s$ に対して、ディリクレ級数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}$ は絶対収束し、$\zeta (2s)\ne 0$ であって
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{f(n)}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^3}{\zeta (2s)}$$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、素因数分解の一意性、$\sigma >1$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }{n}^{-\sigma }$ が収束すること、絶対収束する級数の項の並べ替えと、絶対収束する有限個の級数の積の展開（コーシー積）は用いてよい。$\zeta$ のオイラー積表示は用いる場合には証明すること。