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解析的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学解析的整数論

正の整数 $n$ に対し、 $d (n)$ を $n$ の正の約数の個数とする。また $χ$ を法 $4$ の非自明なディリクレ指標とする。すなわち
$χ (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (n \equiv 1 (mod 4)) (n \equiv 3 (mod 4)) (n \equiv 0 (mod 2))$
である。無限級数
$S = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) d ( n ) ^{2}}{n ^{3}}$
は絶対収束する。 $S$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

指標でひねったディリクレ級数（説明と入口の問題）
ディリクレ級数とオイラー積（説明と入口の問題）
有限個のオイラー因子の除去と交代ゼータ（説明と入口の問題）
L 関数の正の整数での値（説明と入口の問題）
リーマンゼータ関数の特殊値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（136 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$χ (n) d (n)^{2}$ は乗法的なので、オイラー積に分解し、各素数での局所因子を閉じた形で求めましょう。

ヒント 2

$\sum_{k \geq 0} (k + 1)^{2} x^{k} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 - x ) ^{4}}$ を使うと、級数は $L (s, χ)$ と $ζ (2 s)$ で表せます（ $p = 2$ の扱いに注意）。

ヒント 3

$n \geq 1 \sum \frac{χ ( n ) d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = \frac{L ( s , χ ) ^{4}}{( 1 - 2 ^{- 2 s} ) ζ ( 2 s )}$ です。あとは $x (π - x)$ のフーリエ正弦級数から $L (3, χ)$ を求め、 $ζ (6) = π^{6} /945$ と組み合わせます。

答えと解説

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\frac{15 π ^{6}}{16384}

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解説を読む

1. オイラー積への分解. $d (n)^{2}$ は乗法的で、 $d (n)^{2} = O (n^{ε})$ （任意の $ε > 0$ ）なので、級数は $Re s > 1$ で絶対収束します。 $χ (n) d (n)^{2}$ は完全乗法的関数と乗法的関数の積なので乗法的です。したがって $Re s > 1$ でオイラー積に分解できます。
$n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = p \prod k = 0 \sum \infty \frac{χ ( p ) ^{k} ( k + 1 ) ^{2}}{p ^{k s}} .$

2. 局所因子の計算. $∣ x ∣ < 1$ のとき
$k = 0 \sum \infty (k + 1)^{2} x^{k} = \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{3}} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 - x ) ^{4}}$
が成り立ちます。 $p = 2$ では $χ (2) = 0$ なので因子は $1$ です。奇素数 $p$ では $x = χ (p) p^{- s}$ とおき、 $χ (p)^{2} = 1$ を使うと、因子は
$\frac{1 - p ^{- 2 s}}{( 1 - χ ( p ) p ^{- s} ) ^{4}}$
になります。

3. L 関数で表す. $L (s, χ) = \prod_{p} (1 - χ (p) p^{- s})^{- 1}$ であり、 $\prod_{p \neq = 2} (1 - p^{- 2 s}) = \frac{1}{( 1 - 2 ^{- 2 s} ) ζ ( 2 s )}$ です。よって
$n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n ) d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = \frac{L ( s , χ ) ^{4}}{( 1 - 2 ^{- 2 s} ) ζ ( 2 s )} .$

4. $L (3, χ)$ の計算. $0 \leq x \leq π$ で $f (x) = x (π - x)$ を奇関数として拡張し、正弦級数に展開します。
$b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x (π - x) sin n x d x = \frac{4 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{π n ^{3}} .$
したがって
$x (π - x) = \frac{8}{π} n 奇数 \sum \frac{sin n x}{n ^{3}}$
です（右辺は一様収束するので各点で等号が成り立ちます）。 $x = π /2$ を代入すると、奇数 $n$ に対して $sin (nπ /2) = χ (n)$ なので
$\frac{π ^{2}}{4} = \frac{8}{π} L (3, χ), L (3, χ) = \frac{π ^{3}}{32} .$

5. $ζ (6)$ の計算. $ζ (2 k) = \frac{( - 1 ) ^{k + 1} ( 2 π ) ^{2 k} B _{2 k}}{2 ( 2 k )!}$ に $B_{6} = \frac{1}{42}$ を代入すると
$ζ (6) = \frac{64 π ^{6}}{2 \cdot 720 \cdot 42} = \frac{π ^{6}}{945} .$

6. $s = 3$ を代入. 分母は
$(1 - 2^{- 6}) ζ (6) = \frac{63}{64} \cdot \frac{π ^{6}}{945} = \frac{π ^{6}}{960}$
です。分子は $L (3, χ)^{4} = \frac{π ^{12}}{2 ^{20}}$ です。よって
$S = \frac{π ^{12}}{2 ^{20}} \cdot \frac{960}{π ^{6}} = \frac{15 \cdot 2 ^{6} π ^{6}}{2 ^{20}} = \frac{15 π ^{6}}{16384} .$

別解

$χ$ は完全乗法的で、 $χ^{2}$ は法 $4$ の単位指標 $χ_{0}$ である。素数 $p$ について $x = χ (p) p^{- s}$ とおくと、 $\sum_{k} (k + 1)^{2} x^{k} = \frac{1 + x}{( 1 - x ) ^{3}} = \frac{1 - x ^{2}}{( 1 - x ) ^{4}}$ が成り立つ。 $d (p^{k}) = k + 1$ なので、オイラー積により
$n \geq 1 \sum \frac{χ ( n ) d ( n ) ^{2}}{n ^{s}} = \frac{L ( s , χ ) ^{4}}{L ( 2 s , χ _{0} )}$
を得る。ここで $L (2 s, χ_{0}) = ζ (2 s) (1 - 2^{- 2 s})$ である。

$s = 3$ とする。
- $L (3, χ) = π^{3} /32$ 。
- $L (6, χ_{0}) = ζ (6) (1 - 2^{- 6}) = \frac{π ^{6}}{945} \cdot \frac{63}{64} = \frac{π ^{6}}{960}$ 。

よって
$S = \frac{π ^{12}}{3 2 ^{4}} \cdot \frac{960}{π ^{6}} = \frac{960 π ^{6}}{1048576} = \frac{15 π ^{6}}{16384} \approx 0.8802.$

検算として、初めの数項の和は $1 - 0.148 + 0.032 - 0.0117 + 0.0123 - 0.003 + 0.0018 - 0.0047 \approx 0.879$ となり、 $0.88$ 付近で値が一致する。

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