解析的整数論の問題

$\chi$ は法 $12$ の原始的な偶指標で、実 2 次体 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$（判別式 $D=12$）に対応するクロネッカー指標である。以下、円分単数を用いた公式で直接計算する。

$\zeta =e^{2\pi i/12}$ とする。原始的指標 $\chi$（導手 $f$）について
$$L(1,\chi )=-\frac{\tau (\chi )}{f}\sum _{a=1}^f\overline{\chi }(a)\log |1-{\zeta }^a|(\chi \text{ が偶指標のとき})$$
が成り立つ。ここでガウス和は
$$\tau (\chi )=\sum _a\chi (a){\zeta }^a=\zeta +{\zeta }^{11}-{\zeta }^5-{\zeta }^7=2\cos \frac{\pi }{6}-2\cos \frac{5\pi }{6}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}.$$
また $|1-{\zeta }^a|=2\sin \frac{\pi a}{12}$ より
$$\sum _a\chi (a)\log |1-{\zeta }^a|=2\log \frac{2\sin (\pi /12)}{2\sin (5\pi /12)}=2\log \tan \frac{\pi }{12}=2\log (2-\sqrt{3}).$$
（$\sin (5\pi /12)=\cos (\pi /12)$, $\tan (\pi /12)=2-\sqrt{3}$ を用いた。）

したがって
$$L(1,\chi )=-\frac{2\sqrt{3}}{12}\cdot 2\log (2-\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}\log \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{\log (2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.$$

類数公式による確認. 実 2 次体の類数公式 $L(1,{\chi }_D)=\frac{2h\log \epsilon }{\sqrt{D}}$ に、$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ の類数 $h=1$、基本単数 $\epsilon =2+\sqrt{3}$、$D=12$ を代入すると $\frac{2\log (2+\sqrt{3})}{2\sqrt{3}}$ となり一致する。数値的にも $\log (2+\sqrt{3})/\sqrt{3}\approx 0.760$ で、級数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\cdots$ の部分和と整合する。

$\chi$ は法 $12$ の実指標で偶指標（$\chi (-1)=\chi (11)=1$）、これは $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ の判別式 $12$ の指標に等しい（$\chi (p)=\left(\frac{12}{p}\right)$）。

解析的類数公式: 実 2 次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ で $L(1,\chi )=\frac{2h\log \epsilon }{\sqrt{D}}$。$D=12$, $h=1$, 基本単数 $\epsilon =2+\sqrt{3}$。よって
$$L(1,\chi )=\frac{2\log (2+\sqrt{3})}{\sqrt{12}}=\frac{\log (2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}.$$

検算: 数値で $\log (2+\sqrt{3})\approx 1.31696$, $/\sqrt{3}\approx 0.7603$。級数 $1-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}-\frac{1}{19}+\frac{1}{23}+\frac{1}{25}-\cdots$ の部分和は $0.75\sim 0.80$ 付近で振動し、$0.76$ 付近に収束する。

答え: $\frac{\log (2+\sqrt{3})}{\sqrt{3}}$