原始的指標と導手

指標の導手を求めて原始的かどうかを判定できる。法 $q$ の原始的指標の個数（素数べきごとの積）と、そのうち偶指標の個数を求められる。また、2 次体の判別式 $D$ に対応する原始的 2 次指標 $χ_{D} (n) = (\frac{D}{n})$ を、法 $4$ ・ $8$ ・ $12$ などで書き下せる

前提

ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）

この技能までの道筋（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
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ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
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確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
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オイラー関数の計算（大学数学整数論）
フェルマーの小定理とオイラーの定理（大学数学整数論）
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繰り返し二乗法によるべき剰余（大学数学暗号理論）
平方剰余とオイラーの規準（大学数学整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）

説明

法 $q$ のディリクレ指標の中には、本当はもっと小さい法 $d ∣ q$ の指標から作られた（誘導された）ものがあります。そのような $d$ の最小値を導手といい、導手が $q$ 自身である指標を原始的指標といいます。この技能では、指標の導手を求めて原始的かどうかを判定し、法 $q$ の原始的指標の個数やそのうちの偶指標の個数を素数べきごとの計算から求めます。また、判別式 $D$ に対応する 2 次指標 $χ_{D}$ を法 $4, 8, 12$ などで具体的に書き下します。原始的指標は L 関数の関数等式やガウス和がきれいに成り立つ基本的な指標なので、多くの計算でまず原始的指標に直してから考えます。

なぜそうしてよいのか

$d ∣ q$ とし、法 $d$ の指標 $ψ$ があると、 $g cd (n, q) = 1$ なら $χ (n) = ψ (n)$ 、そうでなければ $χ (n) = 0$ と定めた $χ$ は法 $q$ の指標です。これを $ψ$ から誘導された指標といいます。逆に、法 $q$ の指標 $χ$ が法 $d$ の指標から誘導される条件は、 $χ$ が自然な全射 $(Z / q Z)^{\times} \to (Z / d Z)^{\times}$ を通ること、つまり核 $K_{d} = {a \in (Z / q Z)^{\times} : a \equiv 1 (mod d)}$ の上で $χ \equiv 1$ となることです（準同型が商を通る条件）。このような $d$ の最小値が導手 $f_{χ}$ で、条件を満たす $d$ はちょうど $f_{χ}$ の倍数（で $q$ の約数）になっています。 $χ = \prod_{p} χ_{p}$ （中国剰余定理による分解）なら導手は各 $χ_{p}$ の導手の積なので、原始的であることは「各 $χ_{p}$ が法 $p^{e}$ で原始的」と同じです。

法 $p^{e}$ で原始的でない指標は、導手が $p^{e - 1}$ の約数、つまり法 $p^{e - 1}$ の指標から誘導されたものです。誘導は単射（ $ψ$ は $χ$ の値で決まる）なので、その個数は $φ (p^{e - 1})$ です。よって法 $p^{e}$ の原始的指標は $φ (p^{e}) - φ (p^{e - 1})$ 個で、 $e = 1$ なら $(p - 1) - 1 = p - 2$ 個、 $e \geq 2$ なら $p^{e - 2} (p - 1)^{2}$ 個です（ $p = 2$ では法 $2$ で $0$ 個、法 $4$ で $1$ 個、法 $2^{e}$ （ $e \geq 3$ ）で $2^{e - 2}$ 個）。法 $q$ ではこれらの積が個数になります。偶奇も同じ引き算で数えられます。 $- 1 \neq \equiv 1$ となる法（ $3$ 以上）の指標はちょうど半分が偶指標（偶指標全体は $χ \mapsto χ (- 1)$ という全射準同型の核で、指数 $2$ ）なので、たとえば奇素数 $p$ なら、法 $p$ の偶指標 $\frac{p - 1}{2}$ 個から単位指標を除いた $\frac{p - 3}{2}$ 個が偶の原始的指標、 $\frac{p - 1}{2}$ 個が奇の原始的指標です。

2 次指標（値が $\pm 1, 0$ ）の原始的なものは、次の基本の指標の積として作れます。奇素数 $p$ について $p^{*} = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}} p$ とおき、 $χ_{p^{*}} (n) = (\frac{n}{p})$ （ルジャンドル記号、 $p ∣ n$ なら $0$ ）、また奇数 $n$ に対して $χ_{- 4} (n) = (- 1)^{\frac{n - 1}{2}}$ 、 $χ_{8} (n) = (- 1)^{\frac{n ^{2} - 1}{8}}$ 、 $χ_{- 8} = χ_{- 4} χ_{8}$ とし、偶数 $n$ ではいずれも $0$ と定めます（ $χ_{- 4}$ は $n \equiv 1 mod 4$ で $1$ 、 $3$ で $- 1$ 。 $χ_{8}$ は $n \equiv \pm 1 mod 8$ で $1$ 、 $\pm 3$ で $- 1$ 。 $χ_{- 8}$ は $n \equiv 1, 3 mod 8$ で $1$ 、 $5, 7$ で $- 1$ ）。2 次体の判別式 $D$ は、 $p^{*}$ （相異なる奇素数）と $- 4, 8, - 8$ のうち高々 1 つとの積にただ一通りに分かれるので、対応する因子の指標の積を $χ_{D}$ と定めます（たとえば $χ_{12} = χ_{- 4} χ_{- 3}$ ）。導手を見ると、 $χ_{p^{*}}$ は法 $p$ の単位指標でない指標なので導手 $p$ 、 $χ_{- 4}$ は法 $4$ の単位指標でない指標で法 $2$ の指標は単位指標しかないので導手 $4$ 、 $χ_{\pm 8}$ は $K_{4} = {1, 5} (mod 8)$ 上で $χ_{\pm 8} (5) = - 1 \neq = 1$ なので導手 $8$ です。導手は素数べきごとの積なので $χ_{D}$ の導手は $∣ D ∣$ で、 $χ_{D}$ は法 $∣ D ∣$ の原始的指標です（法 $12$ なら $4 \cdot 3 = 12$ ）。また $χ_{p^{*}} (- 1) = (\frac{- 1}{p}) = (- 1)^{\frac{p - 1}{2}}$ は $p^{*}$ の符号、 $χ_{- 4} (- 1) = χ_{- 8} (- 1) = - 1$ 、 $χ_{8} (- 1) = 1$ なので、 $χ_{D} (- 1)$ は $D$ の符号に一致します。相互法則と補充法則から、 $D$ と互いに素な奇素数 $ℓ$ では $χ_{D} (ℓ) = (\frac{D}{ℓ})$ （ルジャンドル記号）となるので、 $χ_{D} (n)$ を $(\frac{D}{n})$ とも書きます（ $n$ が一般の整数のときは、この積で定めたものを表す記法です）。法 $12$ では $χ_{12} (n)$ は $n \equiv \pm 1 (mod 12)$ で $1$ 、 $n \equiv \pm 5$ で $- 1$ 、 $g cd (n, 12) > 1$ で $0$ です。

手順

$q = \prod p^{e}$ と素因数分解し、指標を $χ = \prod_{p} χ_{p}$ （ $χ_{p}$ は法 $p^{e}$ ）に分ける
導手を求めるには各 $χ_{p}$ について、 $a \equiv 1 (mod p^{e - 1})$ を満たす $a$ で $χ_{p} (a) = 1$ かどうかを調べる。すべて $1$ なら法 $p^{e - 1}$ に下げて繰り返し、どこかで $1$ でない値が出たときの法がその素数部分の導手になる。導手 $f_{χ} = \prod_{p} f_{χ_{p}}$ が $q$ に等しければ原始的
原始的指標の個数は素数べきごとに $φ (p^{e}) - φ (p^{e - 1})$ （法 $p$ で $p - 2$ 、 $e \geq 2$ で $p^{e - 2} (p - 1)^{2}$ ）を求めて掛ける。 $q$ が $2$ でちょうど 1 回割り切れるとき（ $q \equiv 2 (mod 4)$ ）は $0$ 個
偶指標の個数は、各素数べきの偶の原始的指標の数 $E_{p}$ と奇の数 $O_{p}$ を求め、 $\frac{1}{2} (\prod_{p} (E_{p} + O_{p}) + \prod_{p} (E_{p} - O_{p}))$ で計算する（奇素数 $p$ で $E_{p} = \frac{p - 3}{2}, O_{p} = \frac{p - 1}{2}$ 、奇素数の $e \geq 2$ で $E_{p} = O_{p}$ 、法 $4$ で $E = 0, O = 1$ 、法 $2^{e}$ （ $e \geq 3$ ）で $E = O = 2^{e - 3}$ ）
2 次指標は、 $D$ を $p^{*}$ と $- 4, \pm 8$ の積に分け、 $χ_{D}$ を $(\frac{n}{p})$ 、 $χ_{- 4}$ 、 $χ_{\pm 8}$ の積として書き下す。導手は $∣ D ∣$ 、 $χ_{D} (- 1)$ は $D$ の符号

例題

法 $45$ のディリクレ指標のうち、原始的指標の個数を求めよ。

例題の解答

手順1: $45 = 3^{2} \cdot 5$ 。法 $45$ の指標は、法 $9$ の指標 $χ_{3}$ と法 $5$ の指標 $χ_{5}$ の積 $χ_{3} χ_{5}$ と一対一に対応し、 $χ$ が原始的であることは $χ_{3}$ が法 $9$ で、 $χ_{5}$ が法 $5$ でそれぞれ原始的であることと同じである。

（手順2 は個々の指標の導手を調べる手順で、個数を数えるこの問題では使わない。）

手順3: 法 $9$ : 指標は $φ (9) = 6$ 個。そのうち原始的でないのは法 $3$ の指標から誘導されたもので $φ (3) = 2$ 個。よって原始的なものは $6 - 2 = 4$ 個（ $p^{e - 2} (p - 1)^{2} = 3^{0} \cdot 2^{2} = 4$ と一致）。
法 $5$ : 指標は $φ (5) = 4$ 個で、原始的でないのは法 $1$ から誘導された単位指標の $φ (1) = 1$ 個。よって $4 - 1 = 3$ 個（ $p - 2 = 3$ の公式とも一致）。

積をとって、法 $45$ の原始的指標は $4 \times 3 = 12$ 個。

答え: $12$

よくある誤り

原始的指標の個数を「単位指標以外すべて」として $φ (q) - 1$ と数えてしまう誤り。法 $45$ なら $φ (45) - 1 = 23$ ではない。法 $3$ や法 $9$ 、法 $5$ 、法 $15$ から誘導された指標も原始的でなく、正しくは素数べきごとの積で $4 \times 3 = 12$ 個である。
法 $p^{e}$ の原始的指標を $φ (p^{e}) - 1$ 個としてしまう誤り。法 $p^{e - 1}$ から誘導された指標は単位指標だけではなく $φ (p^{e - 1})$ 個あるので、正しくは $φ (p^{e}) - φ (p^{e - 1})$ （法 $9$ なら $6 - 1 = 5$ ではなく $6 - 2 = 4$ ）。
$q \equiv 2 (mod 4)$ のときにも原始的指標があると考える誤り。法 $2$ の指標は単位指標だけで、それは法 $1$ から誘導されるので法 $2$ の原始的指標は $0$ 個。したがって例えば法 $10$ の原始的指標は $0 \cdot 3 = 0$ 個である。
2 次指標の導手を $∣ D ∣$ ではなく $D$ の奇素因数の積と考え、 $χ_{12}$ の導手を $3$ としてしまう誤り。 $χ_{12} (7) = χ_{- 4} (7) χ_{- 3} (7) = (- 1) \cdot 1 = - 1$ だが、 $7 \equiv 1 (mod 3)$ なので法 $3$ の指標から誘導されたものなら $χ (7) = χ (1) = 1$ のはずである。よって $χ_{12}$ は法 $3$ の指標から誘導されず、導手は $12$ である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
法 $15$ のディリクレ指標 $χ$ を、 $g cd (n, 15) > 1$ のとき $χ (n) = 0$ とし、 $g cd (n, 15) = 1$ のときは $n$ を $15$ で割った余りに応じて次の表で定める。
$n mod 15 χ (n) 11 2 - 1 41 7 - 1 8 - 1 111 13 - 1 141$
ここで、 $χ$ の導手とは、 $15$ の正の約数 $d$ であって「 $g cd (n, 15) = 1$ かつ $n \equiv 1 (mod d)$ ならば $χ (n) = 1$ 」を満たすもののうち最小のものをいう。 $χ$ の導手を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（大学院数学解析的整数論）
L(1,χ) の値（大学院数学解析的整数論）