解析的整数論の問題

難易度 3大学院入試の専門科目の標準レベル大学院数学解析的整数論

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $χ : (Z / N Z)^{\times} \to C^{\times}$ を、 $g cd (n, N) > 1$ のとき $χ (n) = 0$ と定めて整数全体に延長した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $χ$ が原始的であるとは、 $N$ の真の約数 $M$ （ $1 \leq M < N$ , $M ∣ N$ ）と法 $M$ のディリクレ指標 $ψ$ で、 $g cd (n, N) = 1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $χ (n) = ψ (n)$ となるものが存在しないことをいう（法 $1$ の指標は恒等的に $1$ である関数とする）。

法 $1540$ の原始的ディリクレ指標 $χ$ のうち、 $χ (- 1) = 1$ を満たすもの（偶指標）の個数を求めよ。

この問題で使うもの

原始的指標と導手（説明と入口の問題）
ディリクレ指標の定義と値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（73 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

中国剰余定理で法 $1540 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ の指標を各素数冪を法とする指標の積に分け、原始性と偶奇がそれぞれ成分ごとに決まることを使いましょう。

ヒント 2

奇素数 $p$ を法とする原始的指標は自明でない指標で、原始根 $g$ に対し $χ (g) = e^{2 π ik / (p - 1)}$ と書くと $χ (- 1) = (- 1)^{k}$ です。法 $4$ の原始的指標は $1$ 個だけです。

ヒント 3

各法での（偶の個数, 奇の個数）は、法 $4$ : $(0, 1)$ 、法 $5$ : $(1, 2)$ 、法 $7$ : $(2, 3)$ 、法 $11$ : $(4, 5)$ です。総数 $E + O$ と、差 $E - O = \sum χ (- 1)$ を積の形で計算します。

答えと解説

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68

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解説を読む

素因数への分解 $1540 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ である。中国剰余定理より
$(Z /1540 Z)^{\times} ≅ (Z /4 Z)^{\times} \times (Z /5 Z)^{\times} \times (Z /7 Z)^{\times} \times (Z /11 Z)^{\times}$
なので、法 $1540$ の指標 $χ$ は各素数冪を法とする指標の積 $χ = χ_{4} χ_{5} χ_{7} χ_{11}$ に一意に分解する。 $χ$ が原始的であることと、各成分 $χ_{q}$ が法 $q$ で原始的であることは同値である（ある成分が法 $q / p$ から誘導されれば、 $χ$ は法 $1540/ p$ から誘導される。逆も同様）。

また $- 1$ は各成分で $- 1$ に対応するので $χ (- 1) = χ_{4} (- 1) χ_{5} (- 1) χ_{7} (- 1) χ_{11} (- 1)$ である。

各成分の原始的指標と偶奇 奇素数 $p$ では $(Z / p Z)^{\times}$ は位数 $p - 1$ の巡回群で、原始的指標は自明でない指標 $p - 2$ 個である。原始根 $g$ をとると $- 1 = g^{(p - 1) /2}$ なので、 $χ (g) = e^{2 π ik / (p - 1)}$ （ $1 \leq k \leq p - 2$ ）に対して $χ (- 1) = e^{π ik} = (- 1)^{k}$ となる。よって $k$ が偶数なら偶、奇数なら奇である。
- 法 $4$ : 指標は自明な指標と $χ (3) = - 1$ のものの $2$ 個。原始的なのは後者だけで、 $χ (- 1) = χ (3) = - 1$ 。偶 $0$ 個、奇 $1$ 個。
- 法 $5$ : $k = 1, 2, 3$ 。偶（ $k = 2$ ） $1$ 個、奇（ $k = 1, 3$ ） $2$ 個。
- 法 $7$ : $k = 1, \dots, 5$ 。偶（ $k = 2, 4$ ） $2$ 個、奇（ $k = 1, 3, 5$ ） $3$ 個。
- 法 $11$ : $k = 1, \dots, 9$ 。偶（ $k = 2, 4, 6, 8$ ） $4$ 個、奇 $5$ 個。

数え上げ 原始的指標の総数は
$E + O = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 9 = 135$
である（ $E$ を偶、 $O$ を奇の個数とする）。また $χ (- 1)$ が成分の値の積であることから
$E - O = χ 原始的 \sum χ (- 1) = q \in {4, 5, 7, 11} \prod (χ_{q} 原始的 \sum χ_{q} (- 1)) = (0 - 1) (1 - 2) (2 - 3) (4 - 5) = 1.$
よって
$E = \frac{135 + 1}{2} = 68.$

別解

$1540 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$ であり、 $(Z /1540)^{\times} ≅ (Z /4)^{\times} \times (Z /5)^{\times} \times (Z /7)^{\times} \times (Z /11)^{\times}$ なので、指標は各素数べき成分の指標の積に一意に分解する。この分解で $χ$ が原始的であることは、各成分 $χ_{q}$ が法 $q$ の原始的指標であることと同値である。また $χ (- 1) = \prod χ_{q} (- 1)$ 。

各成分の原始的指標の個数（偶・奇に分けて）:
- 法 4: 群は位数 2。原始的なのは非自明指標 1 個で、 $χ (- 1) = - 1$ （奇）。偶 0、奇 1。
- 法 5, 7, 11（素数 $p$ ）: 原始的 $⟺$ 非自明（法 1 の指標は恒等的に 1 で、導手 1 なのは自明指標のみ）。巡回群 $Z / (p - 1)$ の生成元 $g$ に対し $χ_{a} (g) = e^{2 π ia / (p - 1)}$ とすると $χ_{a} (- 1) = χ_{a} (g^{(p - 1) /2}) = (- 1)^{a}$ 。
- 法 5（ $a = 1, 2, 3$ ）: 偶は $a = 2$ の 1 個、奇は 2 個。
- 法 7（ $a = 1, \dots, 5$ ）: 偶は $a = 2, 4$ の 2 個、奇は 3 個。
- 法 11（ $a = 1, \dots, 9$ ）: 偶は $a = 2, 4, 6, 8$ の 4 個、奇は 5 個。

全体で $χ (- 1) = 1$ となるのは奇な成分の個数が偶数のとき。各成分の（偶数, 奇数）の個数を $(e_{q}, o_{q})$ として $P (x) = \prod_{q} (e_{q} + o_{q} x)$ とおくと、求める個数は $\frac{P ( 1 ) + P ( - 1 )}{2}$ 。
$P (1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 9 = 135$ 、 $P (- 1) = (0 - 1) (1 - 2) (2 - 3) (4 - 5) = 1$ 。
よって $\frac{135 + 1}{2} = 68$ 。

検算: 全原始的指標数は $\prod$ = 135 で、奇指標数は $(135 - 1) /2 = 67$ 、偶 68。条件 $χ (- 1) = 1$ で偶数個の奇成分を直接数えると、奇成分の数が 0 個: 0（法 4 は奇のみ）、2 個: 法 4 と他の 1 つ: $1 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 \cdot 5) = 16 + 12 + 10 = 38$ 、4 個: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$ 。計 $38 + 30 = 68$ 。一致。

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