解析的整数論の問題

1. 指標の分解. 中国剰余定理より $(\mathbb{Z}/63\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }$ なので、法 $63$ の指標 $\chi$ は法 $9$ の指標 ${\chi }_9$ と法 $7$ の指標 ${\chi }_7$ の積 $\chi ={\chi }_9{\chi }_7$ と一意に書ける。$\chi$ が原始的であることは、${\chi }_9$ と ${\chi }_7$ がともに原始的であることと同値である（導手は $\mathrm{cond}({\chi }_9)\mathrm{cond}({\chi }_7)$）。また ${\chi }^3$ が単位指標であることは ${\chi }_9^3,{\chi }_7^3$ がともに単位指標であることと同値。

2. 法 $9$ の成分. $(\mathbb{Z}/9\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 $6$ の巡回群で、$2$ が生成元である（$2^1,\dots ,2^6\equiv 2,4,8,7,5,1$）。$\omega =e^{2\pi i/3}$ とおくと、${\chi }_9^3=1$ を満たす指標は ${\chi }_9(2)\in \{1,\omega ,{\omega }^2\}$ で定まる 3 個。このうち単位指標でない 2 個（${\chi }_9(2)=\omega ,{\omega }^2$）は位数 $3$ である。法 $9$ の真の約数は $1,3$ で、法 $1$・法 $3$ の指標の値は $\pm 1$ に限るから、位数 $3$ の指標はそれらから誘導されず、原始的である。単位指標は原始的でない。よって条件を満たす ${\chi }_9$ は 2 個で
$$\sum {\chi }_9(2)=\omega +{\omega }^2=-1.$$

3. 法 $7$ の成分. $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}{)}^{\times }$ は位数 $6$ の巡回群で $3$ が生成元、$2\equiv 3^2(\mathrm{mod}7)$ である。${\chi }_7^3=1$ の指標は ${\chi }_7(3)\in \{1,\omega ,{\omega }^2\}$ で定まり、法 $7$（素数）の指標が原始的であることは単位指標でないことと同値だから、条件を満たす ${\chi }_7$ は ${\chi }_7(3)=\omega ,{\omega }^2$ の 2 個。このとき ${\chi }_7(2)={\chi }_7(3{)}^2={\omega }^2,{\omega }^4=\omega$ なので
$$\sum {\chi }_7(2)={\omega }^2+\omega =-1.$$

4. 集合 $S$. 1 より $\chi \in S$ であるための条件は、${\chi }_9,{\chi }_7$ がそれぞれ 2・3 で求めた 2 個のどれかであること（このとき $\chi$ の位数は $\mathrm{lcm}(3,3)=3$ で、単位指標でない）。したがって $|S|=2\cdot 2=4$ で、$\chi (2)={\chi }_9(2){\chi }_7(2)$ より
$$\sum _{\chi \in S}\chi (2)=(\sum {\chi }_9(2))(\sum {\chi }_7(2))=(-1)(-1)=1.$$

$63=9\cdot 7$ で、中国剰余定理により $(\mathbb{Z}/63{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/9{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/7{)}^{\times }\cong C_6\times C_6$。法 63 の指標は $\chi ={\chi }_9{\chi }_7$（${\chi }_9$ は法 9、${\chi }_7$ は法 7 の指標）と一意に分解され、$\chi$ が原始的であることは ${\chi }_9$ と ${\chi }_7$ がそれぞれ原始的であることと同値。

$\chi$ の位数が 3 であることは、${\chi }_9^3={\chi }_7^3=1$ かつ少なくとも一方が自明でないことと同値。

• 法 9: 自明指標は法 1 の指標から来るので原始的でない。位数 3 の指標は 2 個（$(\mathbb{Z}/9{)}^{\times }\cong C_6$ は $2$ が生成元）。これらは $\{1,4,7\}=\ker ((\mathbb{Z}/9{)}^{\times }\to (\mathbb{Z}/3{)}^{\times })$ 上で非自明（法 3 の指標は位数が 1 か 2 なので、位数 3 の指標は法 3 から誘導されない）。よって原始的。原始的な ${\chi }_9$ で ${\chi }_9^3=1$ のものは、この 2 個。
• 法 7: 素数法なので、自明でない指標はすべて原始的。位数 3 の指標は 2 個。

原始的であるには両方が非自明でなければならないので、$|S|=2\times 2=4$（すべて位数 3）。

$\chi (2)={\chi }_9(2){\chi }_7(2)$ で、和は積になる:
$$\sum _{\chi \in S}\chi (2)=(\sum _{{\chi }_9}{\chi }_9(2))(\sum _{{\chi }_7}{\chi }_7(2)).$$

法 9: $2$ は $(\mathbb{Z}/9{)}^{\times }$ の生成元（位数 6）。位数 3 の指標は ${\chi }_9(2)=\omega ,{\omega }^2$（$\omega =e^{2\pi i/3}$）なので和は $\omega +{\omega }^2=-1$。

法 7: $3$ が生成元で $2\equiv 3^2$、$2$ の位数は 3。位数 3 の指標は ${\chi }_7(3)=\omega ,{\omega }^2$ で、${\chi }_7(2)={\chi }_7(3{)}^2={\omega }^2,{\omega }^4=\omega$。和は $-1$。

よって総和は $(-1)(-1)=1$。

検算: 4 個の $\chi (2)$ は $\omega {\omega }^2=1,\omega \cdot \omega ={\omega }^2,{\omega }^2{\omega }^2=\omega ,{\omega }^2\omega =1$ で、和は $1+{\omega }^2+\omega +1=1$。