解析的整数論の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学解析的整数論

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $χ : (Z / N Z)^{\times} \to C^{\times}$ を、 $g cd (n, N) > 1$ のとき $χ (n) = 0$ とおいて整数全体に拡張した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $χ$ が、 $N$ の約数 $d$ で $d < N$ を満たすものと法 $d$ のディリクレ指標 $ψ$ を用いて「 $g cd (n, N) = 1$ のとき $χ (n) = ψ (n)$ 」と表せるとき、 $χ$ は誘導された指標であるという。誘導された指標でないものを原始的であるという。また、 $χ (- 1) = - 1$ を満たす指標を奇指標という。

$N = 1820$ とする。法 $1820$ の原始的な奇指標の個数を求めよ。

この問題で使うもの

原始的指標と導手（説明と入口の問題）
ディリクレ指標の定義と値（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

中国剰余定理で $1820 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ に分解し、指標を各素数べきの指標の積として考えましょう。原始性と $χ (- 1)$ の値は成分ごとに決まります。

ヒント 2

奇素数 $p$ では、原始的指標は主指標以外の指標です。原始根 $g$ を用いて $χ (g) = ζ^{k}$ とおくと $χ (- 1) = (- 1)^{k}$ となります。法 $4$ では、原始的指標は $1$ つだけで、それは奇指標です。

ヒント 3

各法で原始的な偶指標・奇指標の個数を $(e_{q}, o_{q})$ とおくと、 $(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)$ となります。 $\prod (e_{q} + o_{q})$ と $\prod (e_{q} - o_{q})$ を計算しましょう。

答えと解説

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82

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解説を読む

$1820 = 4 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ である。

1. 中国剰余定理による分解. 中国剰余定理より $(Z /1820 Z)^{\times} ≅ (Z /4)^{\times} \times (Z /5)^{\times} \times (Z /7)^{\times} \times (Z /13)^{\times}$ であり、法 $1820$ の指標 $χ$ は各法の指標の積 $χ = χ_{4} χ_{5} χ_{7} χ_{13}$ として一意に表せる。 $χ$ の導手は各 $χ_{q}$ の導手の積なので、 $χ$ が原始的であることと、各 $χ_{q}$ が法 $q$ で原始的であることは同値である。さらに
$χ (- 1) = χ_{4} (- 1) χ_{5} (- 1) χ_{7} (- 1) χ_{13} (- 1)$
である。

2. 各素数べきでの個数. 法 $q$ の原始的指標のうち偶指標（ $χ (- 1) = 1$ ）の個数を $e_{q}$ 、奇指標の個数を $o_{q}$ とする。

- 法 $4$ ： $(Z /4)^{\times} = {\pm 1}$ の指標は主指標と $χ (3) = - 1$ のものの $2$ つである。主指標は法 $1$ から誘導されるので、原始的なのは後者だけであり、これは奇指標である。よって $e_{4} = 0, o_{4} = 1$ 。
- 法 $p$ （ $p$ は奇素数）：法 $p$ の約数で $p$ より小さいものは $1$ だけなので、原始的指標は主指標以外の $p - 2$ 個である。原始根 $g$ をとり $ζ = e^{2 π i / (p - 1)}$ とおくと、指標は $χ (g) = ζ^{k}$ （ $0 \leq k \leq p - 2$ ）で与えられる。 $- 1 \equiv g^{(p - 1) /2}$ より
$χ (- 1) = ζ^{k (p - 1) /2} = (- 1)^{k}$
となる。 $k = 1, \dots, p - 2$ のうち奇数は $\frac{p - 1}{2}$ 個、偶数は $\frac{p - 3}{2}$ 個である。よって $o_{p} = \frac{p - 1}{2}, e_{p} = \frac{p - 3}{2}$ であり、
$(e_{5}, o_{5}) = (1, 2), (e_{7}, o_{7}) = (2, 3), (e_{13}, o_{13}) = (5, 6) .$

3. 数え上げ. 原始的指標の総数は
$q \prod (e_{q} + o_{q}) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165.$
(偶指標の個数) $-$ (奇指標の個数) は、各成分の符号の積を考えると
$q \prod (e_{q} - o_{q}) = (0 - 1) (1 - 2) (2 - 3) (5 - 6) = 1.$
したがって偶指標は $83$ 個、奇指標の個数は
$\frac{165 - 1}{2} = 82.$

4. 直接の数え上げによる確認. $χ_{4} (- 1) = - 1$ なので、 $χ (- 1) = - 1$ となるのは $χ_{5} (- 1) χ_{7} (- 1) χ_{13} (- 1) = 1$ 、すなわち法 $5, 7, 13$ の成分のうち奇指標であるものが偶数個のときである。
- すべて偶： $e_{5} e_{7} e_{13} = 1 \cdot 2 \cdot 5 = 10$
- 法 $5, 7$ が奇、法 $13$ が偶： $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
- 法 $5, 13$ が奇、法 $7$ が偶： $2 \cdot 2 \cdot 6 = 24$
- 法 $7, 13$ が奇、法 $5$ が偶： $1 \cdot 3 \cdot 6 = 18$

合計は $10 + 30 + 24 + 18 = 82$ となり、3. の結果と一致する。よって答えは $82$ である。

別解

$N = 1820 = 2^{2} \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$ 。中国剰余定理より $(Z / N)^{\times} ≅ (Z /4)^{\times} \times (Z /5)^{\times} \times (Z /7)^{\times} \times (Z /13)^{\times}$ 。法 $N$ の指標は各素数冪を法とする指標の積に一意に分解され、 $χ$ が原始的であることと各成分が原始的であることは同値である。また $χ (- 1)$ は各成分の $χ_{i} (- 1)$ の積である。

各法での原始的な指標の個数を、偶 ( $χ (- 1) = 1$ )・奇 ( $χ (- 1) = - 1$ ) に分けて数える。
- 法4: 原始的な指標は非自明な 1 個のみで、奇。よって (偶,奇)=(0,1)。
- 法5: 巡回群の位数は 4。非自明な指標 3 個が原始的。偶な指標は自明と二次指標で、原始的な偶は二次指標の 1 個。奇は 2 個。よって (1,2)。
- 法7: 位数 6。非自明な 5 個が原始的。偶な指標は位数が 3 の約数のもので 3 個、うち原始的なのは 2 個。奇は 3 個。よって (2,3)。
- 法13: 位数 12。非自明な 11 個が原始的。偶な指標は 6 個、うち原始的なのは 5 個。奇は 6 個。よって (5,6)。

全体で奇となるものの個数は、 $P (x) = \prod (e_{i} + o_{i} x)$ （ $x^{2} = 1$ とみなす）の奇の部分に等しく、 $(P (1) - P (- 1)) /2$ である。
$P (1) = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$ 、 $P (- 1) = (- 1) (- 1) (- 1) (- 1) = 1$ 。
よって $(165 - 1) /2 = 82$ 。

検算: 全原始的指標は 165 個で、偶は $(165 + 1) /2 = 83$ 、奇は 82 で和が合う。

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