解析的整数論の問題

分解. $520=8\cdot 5\cdot 13$ で、中国剰余定理より $(\mathbb{Z}/520\mathbb{Z}{)}^{\times }\cong (\mathbb{Z}/8{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/5{)}^{\times }\times (\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$。したがって法 $520$ の指標は $\chi ={\chi }_8{\chi }_5{\chi }_{13}$（${\chi }_m$ は法 $m$ の指標）と一意に書ける。このとき
- $\chi$ が原始的 $⟺$ 各 ${\chi }_8,{\chi }_5,{\chi }_{13}$ がそれぞれの法で原始的、
- $\chi$ の位数 $=\mathrm{lcm}$（各成分の位数）、
- $\chi (-1)={\chi }_8(-1){\chi }_5(-1){\chi }_{13}(-1)$。

法 $8$. 法 $8$ の指標は $4$ 個で、そのうち法 $4$ から誘導されるもの（自明指標と法 $4$ の非自明指標の誘導）が $2$ 個。よって原始的なものは $2$ 個で、
$${\psi }_1(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv \pm 1)\\ -1& (n\equiv \pm 3)\end{array},{\psi }_2(n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,3)\\ -1& (n\equiv 5,7)\end{array}(\mathrm{mod}8).$$
どちらも位数 $2$ で、${\psi }_1(-1)=1$（偶）、${\psi }_2(-1)=-1$（奇）。

法 $5$. $(\mathbb{Z}/5{)}^{\times }$ は $2$ で生成される位数 $4$ の巡回群。素数を法とするので非自明指標がすべて原始的で、${\chi }_5(2)=i,-1,-i$ の $3$ 個。$-1\equiv 2^2$ より ${\chi }_5(-1)={\chi }_5(2{)}^2$ なので
- 位数 $4$（${\chi }_5(2)=\pm i$）: $2$ 個、どちらも奇、
- 位数 $2$（${\chi }_5(2)=-1$）: $1$ 個、偶。

法 $13$. $(\mathbb{Z}/13{)}^{\times }$ は位数 $12$ の巡回群で、生成元 $g$ をとると $-1=g^6$。位数が $4$ を割る非自明指標は ${\chi }_{13}(g)\in \{-1,i,-i\}$ の $3$ 個で、すべて原始的。${\chi }_{13}(-1)={\chi }_{13}(g{)}^6$ より
- 位数 $2$（${\chi }_{13}(g)=-1$）: $1$ 個、偶（$(-1{)}^6=1$）、
- 位数 $4$（${\chi }_{13}(g)=\pm i$）: $2$ 個、どちらも奇（$(\pm i{)}^6=-1$）。

位数 $3,6,12$ の成分があると $\chi$ の位数が $4$ にならないので、法 $13$ の成分は上の $3$ 個に限る。法 $5$ も同様に上の $3$ 個。

数え上げ. 法 $8$ の成分は位数 $2$ なので、$\chi$ の位数が $4$ になるのは ${\chi }_5$ と ${\chi }_{13}$ の少なくとも一方が位数 $4$ のとき。偶条件 ${\chi }_8(-1){\chi }_5(-1){\chi }_{13}(-1)=1$ で場合分けする。
- ${\chi }_5$ 位数 $4$（奇, $2$ 個）、${\chi }_{13}$ 位数 $2$（偶, $1$ 個）: ${\chi }_8$ は奇の ${\psi }_2$。$2\cdot 1\cdot 1=2$ 個。
- ${\chi }_5$ 位数 $2$（偶, $1$ 個）、${\chi }_{13}$ 位数 $4$（奇, $2$ 個）: ${\chi }_8={\psi }_2$。$1\cdot 2\cdot 1=2$ 個。
- ${\chi }_5$ 位数 $4$（奇, $2$ 個）、${\chi }_{13}$ 位数 $4$（奇, $2$ 個）: 積が偶なので ${\chi }_8={\psi }_1$。$2\cdot 2\cdot 1=4$ 個。

合計 $2+2+4=8$ 個。

（検算: 条件 $(1)$, $(3)$ と「位数が $4$ を割る」を満たすものは、全 $2\cdot 3\cdot 3=18$ 通りのうち偶のもの $\frac{18+(1-1)(1-2)(1-2)}{2}=9$ 個。そのうち位数 $2$ のもの（${\chi }_5,{\chi }_{13}$ がともに位数 $2$ で ${\chi }_8={\psi }_1$）が $1$ 個なので、$9-1=8$ 個。）

$520=8\cdot 5\cdot 13$。中国剰余定理により $\chi ={\chi }_8{\chi }_5{\chi }_{13}$ と一意に分解でき、$\chi$ が原始的であることは各成分が原始的であることと同値である。位数は各成分の位数の最小公倍数、$\chi (-1)={\chi }_8(-1){\chi }_5(-1){\chi }_{13}(-1)$ である。

各成分の原始指標:
- 法 $8$: 導手 $8$ の指標は 2 個。ともに位数 $2$ で、偶(Kronecker 記号 $(2/\cdot )$)が 1 個、奇($(-2/\cdot )$)が 1 個。
- 法 $5$: 非自明な指標 3 個。位数 $2$ の指標が 1 個(偶)、位数 $4$ の指標が 2 個($\chi (2)=\pm i$ なので $\chi (-1)=\chi (2{)}^2=-1$、奇)。
- 法 $13$: 巡回群 $C_{12}$、生成元 $g$ で $\chi (g)={\zeta }_{12}^j$ とすると $\chi (-1)=(-1{)}^j$、非自明な指標 11 個が原始的。位数がちょうど 4 の約数であることから位数 $2$($j=6$、偶)が 1 個、位数 $4$($j=3,9$、奇)が 2 個のみ許される(位数 $3,6,12$ は全体の位数が 4 でなくなる)。

全体の位数がちょうど 4 になるには、${\chi }_5,{\chi }_{13}$ の少なくとも一方が位数 4 であることが必要十分(他の成分の位数は 2 以下)。$\chi (-1)=1$ は、奇な成分の個数が偶数であること。

場合分け:
1. ${\chi }_5$ 位数 2(偶)、${\chi }_{13}$ 位数 4(奇, 2 通り): ${\chi }_8$ は奇が必要で 1 通り。計 $1\cdot 1\cdot 2=2$。
2. ${\chi }_5$ 位数 4(奇, 2 通り)、${\chi }_{13}$ 位数 2(偶): ${\chi }_8$ は奇で 1 通り。計 $1\cdot 2\cdot 1=2$。
3. ${\chi }_5$ 位数 4(奇, 2 通り)、${\chi }_{13}$ 位数 4(奇, 2 通り): ${\chi }_8$ は偶で 1 通り。計 $1\cdot 2\cdot 2=4$。

合計 $2+2+4=8$。