解析的整数論の問題

$N=4095=3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ とする。法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}N)$、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張した関数のことである。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の正の真の約数 $d$ であって、「$n\equiv 1(\mathrm{mod}d)$ かつ $\gcd (n,N)=1$ ならば $\chi (n)=1$」をみたすものが存在しないことをいう。また $\chi (-1)=-1$ のとき $\chi$ は奇であるという。

法 $N$ の原始的かつ奇なディリクレ指標 $\chi$ であって、$\chi (2)=1$ をみたすものの個数を求めよ。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体に延長した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$1\le M<N$, $M\mid N$）と法 $M$ のディリクレ指標 $\psi$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)=\psi (n)$ となるものが存在しないことをいう（法 $1$ の指標は恒等的に $1$ である関数とする）。

法 $1540$ の原始的ディリクレ指標 $\chi$ のうち、$\chi (-1)=1$ を満たすもの（偶指標）の個数を求めよ。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}N)$、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張した関数のことである。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$M\mid N$, $M<N$）と法 $M$ のディリクレ指標 ${\chi }^{\prime }$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)={\chi }^{\prime }(n)$ となるものが存在しないことをいう。

法 $63$ のディリクレ指標 $\chi$ のうち、原始的であり、かつ位数がちょうど $3$（すなわち $\gcd (n,63)=1$ なるすべての $n$ で $\chi (n{)}^3=1$ であり、$\chi$ は単位指標でない）であるもの全体の集合を $S$ とする。

$$\sum _{\chi \in S}\chi (2)$$
を求めよ。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ とおいて整数全体に拡張した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が、$N$ の約数 $d$ で $d<N$ を満たすものと法 $d$ のディリクレ指標 $\psi$ を用いて「$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\psi (n)$」と表せるとき、$\chi$ は誘導された指標であるという。誘導された指標でないものを原始的であるという。また、$\chi (-1)=-1$ を満たす指標を奇指標という。

$N=1820$ とする。法 $1820$ の原始的な奇指標の個数を求めよ。

$N=520$ とする。法 $N$ のディリクレ指標とは群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ のことで、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体の関数とみなす。法 $N$ のディリクレ指標全体は積について群をなし、その中での $\chi$ の位数を単に $\chi$ の位数という。また、$\chi$ が $N$ の真の約数 $M$ を法とする指標から誘導されないとき、$\chi$ は原始的であるという。

法 $520$ のディリクレ指標 $\chi$ で、次の $3$ つの条件をすべて満たすものの個数を求めよ。

$(1)$ $\chi$ は原始的である。

$(2)$ $\chi$ の位数はちょうど $4$ である。

$(3)$ $\chi (-1)=1$ である。