ディリクレ指標の定義と値

法 $q$ のディリクレ指標を $(Z / q Z)^{\times}$ の指標として、中国剰余定理で素数べきの法の指標の積に分けて書き下せる。指標の個数 $φ (q)$ 、偶奇 $χ (- 1) = \pm 1$ 、直交関係 $\sum_{a} χ (a) = 0$ （ $χ \neq = χ_{0}$ ）を使って、値や個数を求められる

前提

剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）

この技能までの道筋（60 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
文字式で表した整数の性質（中学数学数と式）
余りによる整数の分類（数学A 整数の性質）
樹形図で数え上げる（算数場合の数）
積の法則と和の法則（算数場合の数）
和の法則・積の法則と樹形図（数学A 場合の数と確率）
合同式（数学A 整数の性質）
群の位数と元の位数（大学数学代数学）
有限アーベル群の構造と部分群の個数（大学数学代数学）
剰余類環の単元群とオイラー関数（大学数学代数学）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
群の表現と指標（大学院数学表現論）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）

説明

法 $q$ （ $q \geq 1$ の整数）のディリクレ指標とは、単元群 $G_{q} = (Z / q Z)^{\times}$ から $0$ でない複素数の乗法群への準同型 $χ$ を、整数全体の関数に延ばしたものです。 $g cd (n, q) = 1$ なら $χ (n) = χ (n mod q)$ 、 $g cd (n, q) > 1$ なら $χ (n) = 0$ と定めます。中国剰余定理で $q$ を素数べきに分けると、指標を素数べきの法の指標の積として具体的に書き下せ、個数 $φ (q)$ ・偶奇 $χ (- 1) = \pm 1$ ・直交関係 $\sum_{a} χ (a) = 0$ などを使って値や個数を計算できます。素数の算術級数での分布を調べる L 関数の材料として使われます。

なぜそうしてよいのか

定義から、 $χ$ は周期 $q$ をもち、 $χ (1) = 1$ 、すべての整数 $m, n$ で $χ (mn) = χ (m) χ (n)$ を満たします（どちらかが $q$ と互いに素でなければ両辺とも $0$ ）。 $G_{q}$ は位数 $φ (q)$ の有限アーベル群なので、 $a^{φ (q)} = 1$ から $χ (a)^{φ (q)} = 1$ となり、値はすべて 1 のべき根です。また有限アーベル群 $G$ の 1 次元指標はちょうど $∣ G ∣$ 個あるので、法 $q$ の指標はちょうど $φ (q)$ 個です。とくに $χ (- 1)^{2} = χ (1) = 1$ から $χ (- 1) = \pm 1$ で、 $+ 1$ のものを偶指標、 $- 1$ のものを奇指標といいます。

具体的に書き下すには中国剰余定理を使います。 $q = q_{1} q_{2}$ （ $g cd (q_{1}, q_{2}) = 1$ ）なら $G_{q} ≅ G_{q_{1}} \times G_{q_{2}}$ で、直積の指標は各成分の指標の積なので、法 $q$ の指標は法 $q_{1}$ の指標 $χ_{1}$ と法 $q_{2}$ の指標 $χ_{2}$ を一組ずつ選んで $χ (n) = χ_{1} (n) χ_{2} (n)$ とおいたものとちょうど一対一に対応します。素数べきの法 $p^{e}$ では、 $p$ が奇素数、または $p^{e} = 2, 4$ のとき $G_{p^{e}}$ は巡回群なので、原始根（生成元） $g$ を一つ選べば、指標は $χ (g)$ を $φ (p^{e})$ 乗して 1 になる数のどれにするかで決まり、 $χ (g^{j}) = χ (g)^{j}$ で全部の値が出ます。一方 $2^{e}$ （ $e \geq 3$ ）では $G_{2^{e}}$ は巡回群でなく原始根がありません。この場合は $G_{2^{e}} = ⟨ - 1 ⟩ \times ⟨ 5 ⟩$ （ $- 1$ は位数 $2$ 、 $5$ は位数 $2^{e - 2}$ ）と分かれ、奇数 $n$ はただ一通りに $n \equiv (- 1)^{ε} 5^{j} (mod 2^{e})$ （ $ε \in {0, 1}$ 、 $0 \leq j < 2^{e - 2}$ ）と書けるので、指標は $χ (- 1) = \pm 1$ と $χ (5)$ （ $2^{e - 2}$ 乗して 1 になる数）の組で決まり、 $χ (n) = χ (- 1)^{ε} χ (5)^{j}$ です。個数は $2 \cdot 2^{e - 2} = 2^{e - 1} = φ (2^{e})$ でやはり合っています。たとえば法 $8$ では $1 = 5^{0}, 5 = 5^{1}, 7 \equiv - 1, 3 \equiv - 5$ です。

直交関係 $\sum_{a \in G_{q}} χ (a) = 0$ （ $χ \neq = χ_{0}$ 、 $χ_{0}$ は単位指標）は次のように分かります。 $χ (b) \neq = 1$ となる $b$ をとると、 $a \mapsto ab$ は $G_{q}$ の並べ替えなので $S = \sum_{a} χ (a) = \sum_{a} χ (ab) = χ (b) S$ 、よって $(1 - χ (b)) S = 0$ から $S = 0$ です。 $χ = χ_{0}$ なら各項が $1$ なので和は $φ (q)$ です。 $g cd (a, q) > 1$ の $a$ では $χ (a) = 0$ なので、 $\sum_{a = 1}^{q} χ (a)$ も同じ値になります。

手順

法 $q$ を互いに素な素数べきの積 $q = \prod p^{e}$ に分け、 $φ (q) = \prod φ (p^{e})$ で指標の個数を確認する
各素数べき $p^{e}$ の指標を指定する。 $p$ が奇素数または $p^{e} = 2, 4$ なら、原始根 $g$ を一つ選び $χ_{p} (g)$ （ $φ (p^{e})$ 乗して 1 になる数）で指定する。 $2^{e}$ （ $e \geq 3$ ）なら原始根はないので、 $χ_{2} (- 1) = \pm 1$ と $χ_{2} (5)$ （ $2^{e - 2}$ 乗して 1 になる数）の組で指定する
求めたい整数 $n$ について、 $g cd (n, q) > 1$ なら $χ (n) = 0$ とする。そうでなければ各 $p^{e}$ について $n \equiv g^{j} (mod p^{e})$ となる指数 $j$ （ $2^{e}$ , $e \geq 3$ なら $n \equiv (- 1)^{ε} 5^{j}$ となる $ε, j$ ）を求める
$χ_{p} (n) = χ_{p} (g)^{j}$ （ $2^{e}$ では $χ_{2} (- 1)^{ε} χ_{2} (5)^{j}$ ）を計算し、積 $χ (n) = \prod_{p} χ_{p} (n)$ をとる
偶奇は $χ (- 1) = \prod_{p} χ_{p} (- 1)$ 、和は直交関係 $\sum_{a \in G_{q}} χ (a) = 0$ （ $χ \neq = χ_{0}$ ）、 $= φ (q)$ （ $χ = χ_{0}$ ）で求める

例題

$i$ を虚数単位とする。法 $15$ のディリクレ指標 $χ$ は、法 $3$ の単位指標でない指標 $χ_{3}$ と、 $χ_{5} (2) = i$ を満たす法 $5$ の指標 $χ_{5}$ により $χ (n) = χ_{3} (n) χ_{5} (n)$ と表されるとする。 $χ (13)$ の値を求めよ。

例題の解答

手順1: $15 = 3 \cdot 5$ で、 $φ (15) = 2 \cdot 4 = 8$ 。中国剰余定理により $χ = χ_{3} χ_{5}$ の形に分かれている。

手順2: $3$ と $5$ は奇素数なので原始根を使う。法 $3$ では $G_{3} = {1, 2}$ で生成元 $2$ 。単位指標でないので $χ_{3} (2) = - 1$ 。法 $5$ では $2$ が原始根（ $2, 4, 3, 1$ と一巡する）で、 $χ_{5} (2) = i$ （ $i^{4} = 1$ を満たす）。

手順3: $g cd (13, 15) = 1$ なので $χ (13) \neq = 0$ 。 $13 \equiv 1 (mod 3)$ より $13 \equiv 2^{0} (mod 3)$ 、 $13 \equiv 3 \equiv 2^{3} (mod 5)$ 。

手順4: $χ_{3} (13) = χ_{3} (2)^{0} = 1$ 、 $χ_{5} (13) = χ_{5} (2)^{3} = i^{3} = - i$ 。よって $χ (13) = 1 \cdot (- i) = - i$ 。

（手順5の確認: $- 1 \equiv 2 (mod 3)$ 、 $- 1 \equiv 4 = 2^{2} (mod 5)$ より $χ (- 1) = χ_{3} (2) χ_{5} (2)^{2} = (- 1) (- 1) = 1$ なので $χ$ は偶指標である。）

答え: $- i$

よくある誤り

$q$ と互いに素でない $n$ で、一部の成分だけを見て値を決めてしまう誤り。たとえば法 $15$ で $6 \equiv 1 (mod 5)$ から $χ_{5} (6) = χ_{5} (1) = 1$ とし、 $χ_{3} (6) = 0$ （ $3 ∣ 6$ ）を見落として $χ (6) = 1$ とするのは誤り。正しくは $g cd (6, 15) = 3$ より $χ (6) = 0$ で、積で見ても $χ_{3} (6) χ_{5} (6) = 0 \cdot 1 = 0$ である。
直交関係 $\sum_{a \in G_{q}} χ (a) = 0$ を単位指標 $χ_{0}$ にも使ってしまう誤り。和が $0$ になるのは $χ \neq = χ_{0}$ のときだけで、 $χ = χ_{0}$ では各項が $1$ なので $\sum_{a \in G_{q}} χ_{0} (a) = φ (q)$ （法 $15$ なら $8$ ）である。
指標の値を任意の 1 のべき根にしてよいと考え、たとえば法 $5$ で $χ (2) = e^{2 π i /3}$ とする誤り。 $2^{4} \equiv 1 (mod 5)$ なので $χ (2)^{4} = 1$ でなければならず、 $χ (2) \in {1, i, - 1, - i}$ である。
法 $2^{e}$ （ $e \geq 3$ ）でも原始根があると思い、たとえば法 $8$ で $χ (3)$ に位数 $4$ の値 $i$ を与えてしまう誤り。 $3^{2} \equiv 5^{2} \equiv 7^{2} \equiv 1 (mod 8)$ なので $G_{8}$ の元はすべて位数 $1$ か $2$ で、法 $8$ の指標の値は $\pm 1$ だけである（ $χ (- 1) = \pm 1$ と $χ (5) = \pm 1$ の組で $4 = φ (8)$ 個）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
法 $5$ のディリクレ指標とは、群準同型 $χ : (Z /5 Z)^{\times} \to C^{\times}$ を、整数 $n$ に対して $5 ∤ n$ のとき $χ (n) = χ (n mod 5)$ 、 $5 ∣ n$ のとき $χ (n) = 0$ と定めて整数全体に延ばしたものとする。 $i$ を虚数単位とし、法 $5$ のディリクレ指標 $χ$ が $χ (2) = i$ を満たすとする。このとき $S = n = 1 \sum 4 n χ (n)$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

原始的指標と導手（大学院数学解析的整数論）
指標でひねったディリクレ級数（大学院数学解析的整数論）