解析的整数論の問題

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\chi (n\mathrm{mod}N)$、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ として整数全体に拡張した関数のことである。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$M\mid N$, $M<N$）と法 $M$ のディリクレ指標 ${\chi }^{\prime }$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)={\chi }^{\prime }(n)$ となるものが存在しないことをいう。

法 $63$ のディリクレ指標 $\chi$ のうち、原始的であり、かつ位数がちょうど $3$（すなわち $\gcd (n,63)=1$ なるすべての $n$ で $\chi (n{)}^3=1$ であり、$\chi$ は単位指標でない）であるもの全体の集合を $S$ とする。

$$\sum _{\chi \in S}\chi (2)$$
を求めよ。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ とおいて整数全体に拡張した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が、$N$ の約数 $d$ で $d<N$ を満たすものと法 $d$ のディリクレ指標 $\psi$ を用いて「$\gcd (n,N)=1$ のとき $\chi (n)=\psi (n)$」と表せるとき、$\chi$ は誘導された指標であるという。誘導された指標でないものを原始的であるという。また、$\chi (-1)=-1$ を満たす指標を奇指標という。

$N=1820$ とする。法 $1820$ の原始的な奇指標の個数を求めよ。

$\chi$ を法 $5$ のルジャンドル記号から定まるディリクレ指標とする。すなわち、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\left(\frac{n}{5}\right)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,4(\mathrm{mod}5))\\ -1& (n\equiv 2,3(\mathrm{mod}5))\\ 0& (n\equiv 0(\mathrm{mod}5))\end{array}$$ とする。$$L(1,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n}$$ の値を求めよ。ただし、${\zeta }_5=e^{2\pi i/5}$ とおくとき、ガウス和 $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^4\chi (a){\zeta }_5^a$ の値が $\sqrt{5}$ であることを用いてよい。

$\chi$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $$\chi (n)=\{\begin{array}{ll}1& (n\equiv 1,7(\mathrm{mod}8))\\ -1& (n\equiv 3,5(\mathrm{mod}8))\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$ で定まるものとする（導手 $8$ の原始的指標である）。$$L(2,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\chi (n)}{n^2}$$ の値を求めよ。ただし、導手 $f$ の原始的な偶指標 $\chi$（$\chi (-1)=1$ を満たすもの）と正の偶数 $k$ に対して成り立つ公式 $$L(k,\chi )=(-1{)}^{1+\frac{k}{2}}\frac{\tau (\chi )}{2}{\left(\frac{2\pi }{f}\right)}^k\frac{B_{k,\bar{\chi }}}{k!}$$ を用いてよい。ここで $\tau (\chi )={\sum }_{a=1}^f\chi (a)e^{2\pi ia/f}$ はガウス和、$B_{k,\chi }=f^{k-1}{\sum }_{a=1}^f\chi (a)B_k\left(\frac{a}{f}\right)$ は一般ベルヌーイ数、$B_2(x)=x^2-x+\frac{1}{6}$ である。

正の整数 $N$ に対して、法 $N$ のディリクレ指標とは、群準同型 $\chi :(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}{)}^{\times }\to {\mathbb{C}}^{\times }$ を、$\gcd (n,N)>1$ のとき $\chi (n)=0$ と定めて整数全体に延長した関数のこととする。法 $N$ のディリクレ指標 $\chi$ が原始的であるとは、$N$ の真の約数 $M$（$1\le M<N$, $M\mid N$）と法 $M$ のディリクレ指標 $\psi$ で、$\gcd (n,N)=1$ を満たすすべての整数 $n$ に対して $\chi (n)=\psi (n)$ となるものが存在しないことをいう（法 $1$ の指標は恒等的に $1$ である関数とする）。

法 $1540$ の原始的ディリクレ指標 $\chi$ のうち、$\chi (-1)=1$ を満たすもの（偶指標）の個数を求めよ。