解析的整数論の問題

指標の有限フーリエ展開 $\chi$ は導手 $5$ の原始的な実指標なので、すべての整数 $n$ について
$$\sum _{a=1}^4\chi (a){\zeta }_5^{an}=\chi (n)\tau (\chi )=\sqrt{5}\chi (n)$$
が成り立つ（$5\nmid n$ なら $a\mapsto an$ の置きかえで、$5\mid n$ なら $\sum \chi (a)=0$ から）。よって
$$\chi (n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a){\zeta }_5^{an}.$$

$-\log (1-z)$ の級数を使う $|z|=1$, $z\ne 1$ のとき ${\sum }_{n\ge 1}\frac{z^n}{n}=-\log (1-z)$（主値）が成り立つので
$$L(1,\chi )=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a)\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\zeta }_5^{an}}{n}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a)\log (1-{\zeta }_5^a).$$
$\chi$ は偶指標（$\chi (-1)=\chi (4)=1$）なので、$a$ と $5-a$ の項をまとめると $\log (1-{\zeta }_5^a)$ と $\log (1-{\zeta }_5^{-a})$ の虚部が打ち消し合い、
$$L(1,\chi )=-\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a)\log |1-{\zeta }_5^a|.$$

絶対値の計算 $|1-{\zeta }_5^a|=2\sin \frac{\pi a}{5}$ なので
$$|1-{\zeta }_5|=|1-{\zeta }_5^4|=2\sin \frac{\pi }{5},|1-{\zeta }_5^2|=|1-{\zeta }_5^3|=2\sin \frac{2\pi }{5}.$$
$\chi (1)=\chi (4)=1$, $\chi (2)=\chi (3)=-1$ を代入して
$$L(1,\chi )=-\frac{2}{\sqrt{5}}\left(\log \left(2\sin \frac{\pi }{5}\right)-\log \left(2\sin \frac{2\pi }{5}\right)\right)=\frac{2}{\sqrt{5}}\log \frac{\sin \frac{2\pi }{5}}{\sin \frac{\pi }{5}}.$$
2 倍角の公式で $\frac{\sin \frac{2\pi }{5}}{\sin \frac{\pi }{5}}=2\cos \frac{\pi }{5}$。$\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ だから $2\cos \frac{\pi }{5}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

答え
$$L(1,\chi )=\frac{2}{\sqrt{5}}\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}(\approx 0.4304).$$

$\chi$ は実指標で偶指標（$\chi (-1)=\chi (4)=1$）、導手 $5$ の原始的指標。原始的指標では $\chi (n)=\frac{1}{\tau (\bar{\chi })}{\sum }_{a=1}^4\bar{\chi }(a){\zeta }_5^{an}$ が成り立つ。ここで $\bar{\chi }=\chi$、$\tau (\chi )=\sqrt{5}$。

$|z|<1$ や $z={\zeta }_5^a\ne 1$ で ${\sum }_{n\ge 1}\frac{z^n}{n}=-\log (1-z)$（収束は条件収束、主枝）なので
$$L(1,\chi )=\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a)\sum _{n\ge 1}\frac{{\zeta }_5^{an}}{n}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\sum _{a=1}^4\chi (a)\log (1-{\zeta }_5^a).$$
$\chi (a)=\chi (5-a)$ で $1-{\zeta }_5^{5-a}=\overline{1-{\zeta }_5^a}$ だから、虚部は打ち消し合い
$$L(1,\chi )=-\frac{2}{\sqrt{5}}(\log |1-{\zeta }_5|-\log |1-{\zeta }_5^2|)(\chi (1)=\chi (4)=1,\chi (2)=\chi (3)=-1).$$
$|1-{\zeta }_5^a|=2\sin \frac{a\pi }{5}$ なので
$$\frac{|1-{\zeta }_5|}{|1-{\zeta }_5^2|}=\frac{\sin 36^{\circ }}{\sin 72^{\circ }}=\frac{1}{2\cos 36^{\circ }}=\frac{1}{2\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{4}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}.$$
よって $\log |1-{\zeta }_5|-\log |1-{\zeta }_5^2|=-\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ となり
$$L(1,\chi )=\frac{2}{\sqrt{5}}\log \frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

検算: 値は $\frac{2\times 0.48121}{2.23607}\approx 0.4304$。級数の部分和 $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\approx 0.426$ と整合する。また類数公式 $L(1,\chi )=\frac{2h\log \epsilon }{\sqrt{5}}$（$h=1$, $\epsilon =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）とも一致する。