離散フーリエ変換の計算と逆変換

$N=4$ とし、$\omega =e^{2\pi i/4}=i$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,x_2,x_3)=(1,2,0,1)$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,X_2,X_3)$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^3{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,2,3)$$
で定める。組 $(X_0,X_1,X_2,X_3)$ をこの順に求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})\in {\mathbb{C}}^N$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_{N-1})$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき、パーセバルの等式
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=N\sum _{n=0}^{N-1}|x_n{|}^2$$
が成り立つ。$x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定まるベクトル $x$ の離散フーリエ変換を計算し、パーセバルの等式を用いて、和
$$S_N=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi k}{N}}$$
を $N$ の式で表せ。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $c=(c_0,c_1,\dots ,c_6)=(3,1,0,0,0,0,1)$ に対し、$7$ 次正方行列 $C=(C_{jk}{)}_{0\le j,k\le 6}$ を
$$C_{jk}=c_{(k-j)\mathrm{mod}7}$$
で定める（巡回行列）。すなわち $C$ は、対角成分がすべて $3$ で、$(j,j\pm 1)$ 成分（添字は $7$ を法として考える）がすべて $1$、それ以外の成分が $0$ の行列である。離散フーリエ変換を用いて $C$ の固有値を求めることにより、行列式 $\det C$ の値を求めよ。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_6)\in {\mathbb{C}}^7$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_6)$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^6{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,6)$$
で定める。
$$x=(1,2,3,0,0,0,0)$$
のとき、
$$S=\sum _{k=0}^6|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=12$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ を $x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=1}^{N-1}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=16$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{15})$ を
$$x_n=\{\begin{array}{ll}1& (n=0,1,2,3)\\ 0& (n=4,5,\dots ,15)\end{array}$$
で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{15}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,15)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{15}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=10$ とし、${\mathbb{C}}^N$ の元の添字は $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ の元とみなす（$x_{n+N}=x_n$）。$x,y\in {\mathbb{C}}^N$ の巡回畳み込みを
$$(x\ast y{)}_n=\sum _{m=0}^{N-1}{x}_m{y}_{n-m}(n=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。$a\in {\mathbb{C}}^N$ を
$$a_0=3,a_1=a_{N-1}=1,a_n=0(2\le n\le N-2)$$
で定め、$e\in {\mathbb{C}}^N$ を $e_0=1,e_n=0(1\le n\le N-1)$ で定める。方程式 $a\ast x=e$ はただ一つの解 $x\in {\mathbb{C}}^N$ をもつ。その成分 $x_0$ の値を求めよ。

$N=15$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。${\mathbb{C}}^N$ 上の線形写像 $F$ を、$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ に対して $$(Fx{)}_k=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-kn}(k=0,1,\dots ,N-1)$$ で定める（正規化した離散フーリエ変換）。$F$ の固有値は $1,-1,i,-i$ のいずれかである。固有値 $1,-1,i,-i$ の重複度（固有空間の次元）を $(m_1,m_{-1},m_i,m_{-i})$ の組としてこの順に求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。