フーリエ解析の問題

$X_0$ の計算. $k=0$ のとき ${\omega }^0=1$ なので
$$X_0=\sum _{n=0}^{N-1}n=\frac{N(N-1)}{2}.$$

$X_k(1\le k\le N-1)$ の計算. $z={\omega }^{-k}$ とおくと、$1\le k\le N-1$ より $z\ne 1$、かつ $z^N=1$ である。したがって ${\sum }_{n=0}^{N-1}{z}^n=\frac{1-z^N}{1-z}=0$ となり、${\sum }_{n=1}^{N-1}{z}^n=-1$ である。
$T={\sum }_{n=0}^{N-1}n{z}^n$ とおくと
$$(1-z)T=\sum _{n=0}^{N-1}n{z}^n-\sum _{n=0}^{N-1}n{z}^{n+1}=\sum _{n=1}^{N-1}{z}^n-(N-1)z^N=-1-(N-1)=-N.$$
よって
$$X_k=T=-\frac{N}{1-{\omega }^{-k}}.$$
ここで $\theta =\frac{\pi k}{N}$ とすると
$$1-{\omega }^{-k}=1-e^{-2i\theta }=e^{-i\theta }(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=2i{e}^{-i\theta }\sin \theta$$
なので $|1-{\omega }^{-k}|=2|\sin \theta |$ であり、$0<\theta <\pi$ より $\sin \theta \ne 0$。したがって
$$|X_k{|}^2=\frac{N^2}{4{\sin }^2\frac{\pi k}{N}}(1\le k\le N-1).$$

パーセバルの等式. 右辺は
$$N\sum _{n=0}^{N-1}{n}^2=N\cdot \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}=\frac{N^2(N-1)(2N-1)}{6}.$$
左辺は
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=\frac{N^2(N-1{)}^2}{4}+\frac{N^2}{4}{S}_N.$$
これらが等しいので
$$\frac{N^2}{4}{S}_N=\frac{N^2(N-1)(2N-1)}{6}-\frac{N^2(N-1{)}^2}{4}=\frac{N^2(N-1)\{2(2N-1)-3(N-1)\}}{12}=\frac{N^2(N-1)(N+1)}{12}.$$
両辺に $\frac{4}{N^2}$ を掛けて
$$S_N=\frac{(N-1)(N+1)}{3}=\frac{N^2-1}{3}.$$

（確認: $N=2$ のとき $S_2=\frac{1}{{\sin }^2(\pi /2)}=1=\frac{4-1}{3}$。$N=3$ のとき $S_3=2\cdot \frac{1}{3/4}=\frac{8}{3}=\frac{9-1}{3}$。）

$k=0$ のとき $X_0={\sum }_{n=0}^{N-1}n=\frac{N(N-1)}{2}$。

$k\ne 0$ のとき $z={\omega }^{-k}$ とおくと $z\ne 1$，$z^N=1$。$X_k={\sum }_{n=0}^{N-1}n{z}^n$。$G(z)={\sum }_{n=0}^{N-1}{z}^n=\frac{z^N-1}{z-1}$ を用いて $z{G}^{\prime }(z)$ を計算すると $X_k=z{G}^{\prime }(z)=z\cdot \frac{N{z}^{N-1}(z-1)-(z^N-1)}{(z-1{)}^2}$。$z^N=1$ を代入して $X_k=\frac{N{z}^N(z-1)\cdot z^{-1}\cdot z}{(z-1{)}^2}$ より $X_k=\frac{N}{z-1}$。

$|z-1{|}^2=|e^{-2\pi ik/N}-1{|}^2=4{\sin }^2\frac{\pi k}{N}$ なので $|X_k{|}^2=\frac{N^2}{4{\sin }^2(\pi k/N)}$。

ゆえに ${\sum }_{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=\frac{N^2(N-1{)}^2}{4}+\frac{N^2}{4}{S}_N$。

一方 $N{\sum }_{n=0}^{N-1}{n}^2=N\cdot \frac{(N-1)N(2N-1)}{6}$。パーセバルの等式より
$$\frac{N^2}{4}{S}_N=\frac{N^2(N-1)(2N-1)}{6}-\frac{N^2(N-1{)}^2}{4}$$
$$S_N=(N-1)\left[\frac{2(2N-1)}{3}-(N-1)\right]=(N-1)\cdot \frac{N+1}{3}=\frac{N^2-1}{3}.$$

検算: $N=2$ のとき $S_2=\frac{1}{{\sin }^2(\pi /2)}=1=\frac{4-1}{3}$。$N=3$ のとき $S_3=2\cdot \frac{1}{3/4}=\frac{8}{3}=\frac{9-1}{3}$。いずれも一致する。