フーリエ解析の問題

方針. $|X_k{|}^4=|X_k^2{|}^2$ であり、$X_k^2$ は巡回畳み込み $c=x\ast x$ の離散フーリエ変換である。そこで離散版パーセバルの等式を $c$ に適用する。

巡回畳み込みと DFT. 長さ $N$ の数列 $a,b$ に対し、添字を $\mathrm{mod}N$ で考えて $(a\ast b{)}_m={\sum }_{j=0}^{N-1}{a}_j{b}_{m-j}$ と定めると、${\widehat{a\ast b}}_k={\hat{a}}_k{\hat{b}}_k$ が成り立つ（${\omega }^{-mk}={\omega }^{-jk}{\omega }^{-(m-j)k}$ で和を分ければよい）。よって $c=x\ast x$ とおくと ${\hat{c}}_k=X_k^2$。

パーセバルの等式. ${\sum }_{k=0}^{N-1}{\omega }^{(n-n^{\prime })k}=N{\delta }_{n{n}^{\prime }}$ より、任意の数列 $a$ に対し ${\sum }_{k=0}^{N-1}|{\hat{a}}_k{|}^2=N{\sum }_{n=0}^{N-1}|a_n{|}^2$。これを $c$ に用いて
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^4=N\sum _{m=0}^{N-1}{c}_m^2.$$

$c_m$ の計算. $S_1={\sum }_{j=0}^{11}j=66$, $S_2={\sum }_{j=0}^{11}{j}^2=\frac{11\cdot 12\cdot 23}{6}=506$ とする。$0\le m\le 11$ に対し、$(m-j)\mathrm{mod}12$ は $j\le m$ なら $m-j$、$j>m$ なら $m-j+12$ だから
$$c_m=\sum _{j=0}^{11}j(m-j)+12\sum _{j=m+1}^{11}j=m{S}_1-S_2+12\left(S_1-\frac{m(m+1)}{2}\right)=-6m^2+60m+286.$$
したがって $m=0,1,\dots ,11$ に対し
$$c_m=286,340,382,412,430,436,430,412,382,340,286,220.$$
（検算: 和は $4356=66^2=X_0^2={\hat{c}}_0$ となり正しい。）

$\sum c_m^2$.
$$2(286^2+340^2+382^2+412^2+430^2)+436^2+220^2$$
$$=2(81796+115600+145924+169744+184900)+190096+48400=1634424.$$
よって ${\sum }_{k=0}^{11}|X_k{|}^4=12\cdot 1634424=19613088$。

$k=0$ の項を除く. $X_0=\sum x_n=66$ より $X_0^4=4356^2=18974736$。ゆえに
$$S=19613088-18974736=638352.$$

別解（検算）. $k\ne 0$ のとき ${\sum }_{n=0}^{N-1}n{z}^n=\frac{N}{z-1}$（$z={\omega }^{-k}$, $z^N=1$）より $X_k=\frac{N}{{\omega }^{-k}-1}$、$|X_k{|}^2=\frac{N^2}{4{\sin }^2(\pi k/N)}$。公式 ${\sum }_{k=1}^{N-1}{\csc }^4\frac{\pi k}{N}=\frac{(N^2-1)(N^2+11)}{45}$ を用いると $S=\frac{N^4}{16}\cdot \frac{143\cdot 155}{45}=1296\cdot \frac{4433}{9}=638352$ となり一致する。

答え: $S=638352$

$z={\omega }^{-k}$ ($k\ne 0$) は $z^N=1,z\ne 1$ を満たす。${\sum }_{n=0}^{N-1}n{z}^n=\frac{N}{z-1}$ (等比級数の微分、または $(z-1)\sum n{z}^n={\sum }_{n=1}^N{z}^n-\dots$ より)。よって $X_k=\frac{N}{{\omega }^{-k}-1}$。$|{\omega }^{-k}-1{|}^2=4{\sin }^2(\pi k/N)$ なので $|X_k{|}^2=\frac{N^2}{4{\sin }^2(\pi k/N)}=\frac{36}{{\sin }^2(\pi k/12)}$。ゆえに $|X_k{|}^4=\frac{1296}{{\sin }^4(\pi k/12)}$。公式 ${\sum }_{k=1}^{N-1}{\csc }^4(\pi k/N)=\frac{(N^2-1)(N^2+11)}{45}$ ($N=2$: 1、$N=3$: $32/9$ で確認) を $N=12$ に用いると $\frac{143\cdot 155}{45}=\frac{4433}{9}$。よって $S=1296\cdot \frac{4433}{9}=144\cdot 4433=638352$。