フーリエ解析の問題

$N=8$ とし、$\omega =e^{2\pi i/8}$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_7)\in {\mathbb{C}}^8$ を
$$x=(1,2,1,0,0,0,0,0)$$
で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^7{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,7)$$
とする。このとき
$$\sum _{k=0}^7|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=7$ とし、$\omega =e^{2\pi i/7}$ とおく。数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_6)\in {\mathbb{C}}^7$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_6)$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^6{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,6)$$
で定める。
$$x=(1,2,3,0,0,0,0)$$
のとき、
$$S=\sum _{k=0}^6|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=12$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})$ を $x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=1}^{N-1}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N=16$ とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。長さ $N$ の数列 $x=(x_0,x_1,\dots ,x_{15})$ を
$$x_n=\{\begin{array}{ll}1& (n=0,1,2,3)\\ 0& (n=4,5,\dots ,15)\end{array}$$
で定め、その離散フーリエ変換を
$$X_k=\sum _{n=0}^{15}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,15)$$
で定める。このとき
$$S=\sum _{k=0}^{15}|X_k{|}^4$$
の値を求めよ。

$N$ を $2$ 以上の整数とし、$\omega =e^{2\pi i/N}$ とおく。$x=(x_0,x_1,\dots ,x_{N-1})\in {\mathbb{C}}^N$ の離散フーリエ変換 $X=(X_0,X_1,\dots ,X_{N-1})$ を
$$X_k=\sum _{n=0}^{N-1}{x}_n{\omega }^{-nk}(k=0,1,\dots ,N-1)$$
で定める。このとき、パーセバルの等式
$$\sum _{k=0}^{N-1}|X_k{|}^2=N\sum _{n=0}^{N-1}|x_n{|}^2$$
が成り立つ。$x_n=n(n=0,1,\dots ,N-1)$ で定まるベクトル $x$ の離散フーリエ変換を計算し、パーセバルの等式を用いて、和
$$S_N=\sum _{k=1}^{N-1}\frac{1}{{\sin }^2\frac{\pi k}{N}}$$
を $N$ の式で表せ。