フーリエ解析の問題

$F$ の基本性質. $F$ の行列成分は $F_{kn}={\omega }^{-kn}/\sqrt{N}$ で、${\sum }_n{\omega }^{(j-k)n}=N{\delta }_{jk}$（添字は $\mathrm{mod}N$）から $F$ はユニタリである。よって $F$ は対角化可能で、重複度は固有空間の次元に等しい。

$F^2$ の成分は
$$(F^2{)}_{jl}=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{\omega }^{-k(j+l)}=\{\begin{array}{ll}1& (j+l\equiv 0(\mathrm{mod}N))\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
なので $(F^{2}x{)}_j=x_{-j}$（反転）であり、$F^4=I$。したがって固有値は ${\lambda }^4=1$ をみたし、$1,-1,i,-i$ のいずれかである。

トレースの条件. 重複度を $m_1,m_{-1},m_i,m_{-i}$ とすると
$$(1)m_1+m_{-1}+m_i+m_{-i}=\mathrm{tr}I=15,$$
$$(2)m_1+m_{-1}-m_i-m_{-i}=\mathrm{tr}{F}^2,$$
$$(3)m_1-m_{-1}+i{m}_i-i{m}_{-i}=\mathrm{tr}F.$$

$\mathrm{tr}{F}^2$ は $2j\equiv 0(\mathrm{mod}15)$ をみたす $j\in \{0,\dots ,14\}$ の個数で、$15$ は奇数なので $j=0$ のみ。よって $\mathrm{tr}{F}^2=1$。

ガウス和の計算. $\mathrm{tr}F=\frac{1}{\sqrt{15}}\sum _{k=0}^{14}{\omega }^{-k^2}=\frac{1}{\sqrt{15}}\overline{G}$, ただし $G=\sum _{k=0}^{14}{e}^{2\pi i{k}^2/15}$。

$15=3\cdot 5$ で、$k=5a+3b$（$a\mathrm{mod}3$, $b\mathrm{mod}5$）は $\mathbb{Z}/15$ の元を重複なく表す（中国剰余定理）。$k^2=25a^2+9b^2+30ab$ より
$$e^{2\pi i{k}^2/15}=e^{2\pi i\cdot 5a^2/3}{e}^{2\pi i\cdot 3b^2/5}$$
だから
$$G=\left(\sum _{a=0}^2{e}^{2\pi i\cdot 2a^2/3}\right)\left(\sum _{b=0}^4{e}^{2\pi i\cdot 3b^2/5}\right).$$
第 1 因子: $a^2\equiv 0,1,1$ より $1+2e^{4\pi i/3}=1+2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-\sqrt{3}i$。
第 2 因子: $b^2\equiv 0,1,4,4,1(\mathrm{mod}5)$ より $1+2\left(e^{6\pi i/5}+e^{24\pi i/5}\right)=1+2\left(e^{6\pi i/5}+e^{4\pi i/5}\right)=1+4\cos \frac{4\pi }{5}=1-(1+\sqrt{5})=-\sqrt{5}$。

よって $G=(-\sqrt{3}i)(-\sqrt{5})=\sqrt{15}i$, $\mathrm{tr}F=\frac{\overline{G}}{\sqrt{15}}=-i$。

連立方程式を解く. $(3)$ の実部・虚部を比べて $m_1-m_{-1}=0$, $m_i-m_{-i}=-1$。$(1),(2)$ から $m_1+m_{-1}=8$, $m_i+m_{-i}=7$。したがって
$$m_1=m_{-1}=4,m_i=3,m_{-i}=4.$$

答えは $(m_1,m_{-1},m_i,m_{-i})=(4,4,3,4)$。

$F$ はユニタリで $F^4=I$ なので固有値は $1,-1,i,-i$ で対角化可能。重複度を $m_1,m_{-1},m_i,m_{-i}$ とおく。

(1) 総数: $m_1+m_{-1}+m_i+m_{-i}=15$。
(2) $F^2$ は $(F^{2}x{)}_n=x_{-n\mathrm{mod}N}$（反転）。その跡は固定点の個数で、$N=15$ は奇数なので固定点は $n=0$ のみ、$\mathrm{tr}{F}^2=1$。固有値は $F^2$ について $1$（$\pm 1$ の固有空間）と $-1$（$\pm i$ の固有空間）なので $(m_1+m_{-1})-(m_i+m_{-i})=1$。よって $m_1+m_{-1}=8$、$m_i+m_{-i}=7$。
(3) $\mathrm{tr}F=\frac{1}{\sqrt{15}}{\sum }_{n=0}^{14}{\omega }^{-n^2}$。ガウス和 ${\sum }_n{e}^{2\pi i{n}^2/N}=(1+i)\sqrt{N}\cdot \dots$ で、$N\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき $i\sqrt{N}$ なので、複素共役をとって ${\sum }_n{\omega }^{-n^2}=-i\sqrt{15}$。よって $\mathrm{tr}F=-i$。
一方 $\mathrm{tr}F=(m_1-m_{-1})+i(m_i-m_{-i})$ なので、$m_1=m_{-1}$、$m_i-m_{-i}=-1$。

(2)(3) より $m_1=m_{-1}=4$、$m_i=3$、$m_{-i}=4$。和 $4+4+3+4=15$ で整合。
（$N=4m+3$ に対する既知の結果 $\{m+1,m+1,m+1,m\}$ とも一致し、$m=3$ で重複度 $3$ になるのが $i$ である。）

答え: $(m_1,m_{-1},m_i,m_{-i})=(4,4,3,4)$。