二次ガウス和の値

まず、和の各項は $n$ を $N$ だけずらしても変わらない（$(n+N{)}^2=n^2+2nN+N^2\equiv n^2(\mathrm{mod}N)$）ので、和は $N$ を法とするどの完全代表系（連続した $N$ 個の整数など）でとっても同じです。

$N\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ で $0$ になる理由: $N=2M$（$M$ は奇数）とし、$n$ を $n+M$ に置き換えると $(n+M{)}^2=n^2+2nM+M^2=n^2+nN+M^2$ なので、$e^{2\pi i(n+M{)}^2/N}=e^{2\pi i{n}^2/N}\cdot e^{2\pi in}\cdot e^{2\pi i{M}^2/(2M)}=e^{2\pi i{n}^2/N}\cdot e^{\pi iM}=-e^{2\pi i{n}^2/N}$（$M$ は奇数）。$n+M$ も完全代表系を動くので和は変わらず、$G(N)=-G(N)$、よって $G(N)=0$ です。

大きさの計算: $|G(N){|}^2=G(N)\overline{G(N)}={\sum }_m{\sum }_n{e}^{2\pi i(m^2-n^2)/N}$（$m,n$ はともに $0,\dots ,N-1$）です。$n$ を固定すると、$m=n+h$ で $h$ が $0,\dots ,N-1$ を動いても $m$ は完全代表系を動くので、こう置き換えてよく、$m^2-n^2=2hn+h^2$ です。したがって
$$|G(N){|}^2=\sum _{h=0}^{N-1}{e}^{2\pi i{h}^2/N}\sum _{n=0}^{N-1}{e}^{2\pi i\cdot 2hn/N}.$$
内側の和は、1 の $N$ 乗根の和の性質から $2h\equiv 0(\mathrm{mod}N)$ のとき $N$、それ以外は $0$ です。よって $2h\equiv 0$ となる $h$ についてだけ $N{e}^{2\pi i{h}^2/N}$ が残ります。$N$ が奇数なら $2h\equiv 0⟺h=0$ で、$|G(N){|}^2=N\cdot e^0=N$、すなわち $|G(N)|=\sqrt{N}$ です。$N$ が偶数なら $h=0$ と $h=\frac{N}{2}$ の 2 つが残り、$h=\frac{N}{2}$ の因子は $e^{2\pi i(N/2{)}^2/N}=e^{\pi iN/2}$ です。$N\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ なら $\frac{N}{2}$ は偶数でこの因子は $1$、$|G(N){|}^2=N+N=2N$ となり $|(1+i)\sqrt{N}|=\sqrt{2N}$ と合います。$N\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ なら $\frac{N}{2}$ は奇数で因子は $-1$、$|G(N){|}^2=N-N=0$ となり、上の $G(N)=0$ と合います。

大きさまでは 1 の $N$ 乗根の和だけで出ますが、「偏角が $0$ か $\pi$ か（$N\equiv 1$）、$\frac{\pi }{2}$ か $-\frac{\pi }{2}$ か（$N\equiv 3$）」という符号の決定はガウスが長年かけて示した深い結果で、ここでは公式として使います。小さな $N$ で確かめると、$N=1$: $1$、$N=3$: $1+2e^{2\pi i/3}=1+2(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=\sqrt{3}i$、$N=4$: $1+i+1+i=2+2i=(1+i)\sqrt{4}$ で、いずれも公式どおりです。

共役: $\overline{e^{i\theta }}=e^{-i\theta }$ なので ${\sum }_{n=0}^{N-1}{e}^{-2\pi i{n}^2/N}=\overline{G(N)}$ で、値は $(1-i)\sqrt{N},\sqrt{N},0,-i\sqrt{N}$ になります。