L 関数の正の整数での値

$χ (- 1) = (- 1)^{k}$ のとき、関数等式（ガウス和 $τ (χ)$ を含む）またはベルヌーイ多項式のフーリエ展開を使って、 $L (k, χ)$ を $π^{k}$ と $B_{k, χ ˉ}$ で表し、 $L (3, χ)$ （ $χ$ は法 $3$ の奇指標）などの値を求められる

前提

一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（大学院数学解析的整数論）
二次ガウス和の値（大学院数学フーリエ解析）

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算数中学高校大学大学院

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分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
因数分解（中学数学数と式）
3 次式までの展開と因数分解（数学I 数と式）
微分係数と導関数の定義（数学II 微分法と積分法）
多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
比例・反比例の式とグラフ（中学数学関数）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
関数 $y = a x^{2}$ の式と変域（中学数学関数）
平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）
2 次不等式（数学I 2次関数）
剰余の定理・因数定理と高次方程式（数学II 複素数と方程式）
増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
等間隔にならんだ数の和（算数計算と数のきまり）
等差・等比数列の和と Σ （数学B 数列）
数列の極限（数学III 極限）
関数の極限（数学III 極限）
関数の連続性と中間値の定理（数学III 極限）
平均値の定理（数学III 微分法）
積と商の微分（数学III 微分法）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）
合成関数の微分（数学III 微分法）
円の周の長さと面積（算数平面図形）
おうぎ形の弧の長さと面積（算数平面図形）
弧の長さからおうぎ形の中心角と面積を求める（中学数学平面図形）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
弧度法と単位円による三角関数（数学II 三角関数）
$sin x / x$ の極限（数学III 極限）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（数学II 三角関数）
三角関数の導関数（数学III 微分法）
根号の乗除と加減（中学数学数と式）
指数の拡張と指数関数（数学II 指数関数と対数関数）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）
自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
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オイラー・マクローリンの和公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
無限等比級数と無限級数（数学III 極限）
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複素数と 2 次方程式の虚数解（数学II 複素数と方程式）
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極形式と積・商（数学C 複素数平面）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）
2 変数の対称式（数学I 数と式）
2 次方程式の解と係数の関係（数学II 複素数と方程式）
2 数を解とする 2 次方程式と複素数の範囲の因数分解（数学II 複素数と方程式）
正弦関数の無限積表示と無限積の値（大学院数学複素解析・リーマン面）
分数関数の積分（部分分数分解）（数学III 積分法）
$π cot π z$ の部分分数展開と級数の和（大学院数学複素解析・リーマン面）
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最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）
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積の法則と和の法則（算数場合の数）
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三角形の角の大きさ（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
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二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
掃き出し法と連立 1 次方程式（大学数学線形代数）
行列の階数と解の存在（大学数学線形代数）
ベクトル空間・一次独立・基底・次元（大学数学線形代数）
線形変換と行列（大学数学線形代数）
核と像と次元定理（大学数学線形代数）
掃き出し法による逆行列（大学数学線形代数）
基底の変換と表現行列（大学数学線形代数）
群の表現と指標（大学院数学表現論）
ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
方程式 $z^{n} = a$ の解（数学C 複素数平面）
1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）
ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
互いに素な法への分解（数学A 整数の性質）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
包除原理（数学A 場合の数と確率）
オイラー関数の計算（大学数学整数論）
フェルマーの小定理とオイラーの定理（大学数学整数論）
n 進法（数学A 整数の性質）
繰り返し二乗法によるべき剰余（大学数学暗号理論）
平方剰余とオイラーの規準（大学数学整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）
原始的指標と導手（大学院数学解析的整数論）
一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（大学院数学解析的整数論）
$1 + cos θ + i sin θ$ の極形式（数学C 複素数平面）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
平行線と線分の比（中学数学相似と三平方の定理）
2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
$z^{n} = a$ の解を使った和と積（数学C 複素数平面）
（等差）×（等比）の数列の和（数学B 数列）
離散フーリエ変換の計算と逆変換（大学院数学フーリエ解析）
二次ガウス和の値（大学院数学フーリエ解析）

説明

$ζ (2 k)$ が $π^{2 k}$ とベルヌーイ数で表せるのと同じように、導手 $f$ の原始的指標 $χ$ の $L (k, χ) = \sum_{n \geq 1} \frac{χ ( n )}{n ^{k}}$ も、偶奇の条件 $χ (- 1) = (- 1)^{k}$ を満たす正の整数 $k$ では閉じた形で求まります。結果は
$L (k, χ) = (- 1)^{k - 1} \frac{τ ( χ )}{2} (\frac{2 π i}{f})^{k} \frac{B _{k, χ ˉ}}{k !}$
で、ガウス和 $τ (χ) = \sum_{a = 1}^{f} χ (a) e^{2 π ia / f}$ と一般ベルヌーイ数 $B_{k, χ ˉ}$ を計算すれば、 $L (3, χ_{- 3})$ や $L (2, χ_{5})$ のような値が $π^{k}$ の代数的数倍として得られます。

なぜそうしてよいのか

1. ベルヌーイ多項式のフーリエ展開。 $P_{k} (x) = - \frac{k !}{( 2 π i ) ^{k}} \sum_{n \neq = 0} \frac{e ^{2 π in x}}{n ^{k}}$ （ $n$ は $0$ 以外の整数全体。 $k = 1$ では条件収束なので $n$ と $- n$ を組にして和をとる）とおき、 $k \geq 2$ では $0 \leq x \leq 1$ 、 $k = 1$ では $0 < x < 1$ で $P_{k} (x) = B_{k} (x)$ を示します。使うベルヌーイ多項式の性質は $B_{k}^{'} = k B_{k - 1}$ と $\int_{0}^{1} B_{k} d x = 0$ （ $k \geq 1$ ）です。 $k = 1$ : 組にすると $P_{1} (x) = - \frac{1}{π} \sum_{n \geq 1} \frac{s i n n θ}{n}$ （ $θ = 2 π x \in (0, 2 π)$ ）。 $0 \leq r < 1$ で $g_{r} (θ) = \sum_{n \geq 1} \frac{r ^{n} s i n n θ}{n}$ は $- Log (1 - r e^{i θ})$ の虚部、すなわち $- ar g (1 - r e^{i θ})$ で、 $Re (1 - r e^{i θ}) > 0$ より $∣ g_{r} ∣ < \frac{π}{2}$ 。 $r \to 1$ で $1 - e^{i θ} = 2 sin \frac{θ}{2} e^{i (θ - π) /2}$ より $g_{r} (θ) \to \frac{π - θ}{2}$ で、級数 $\sum \frac{s i n n θ}{n}$ 自体も（ $sin n θ$ の部分和が有界なので）収束し、アーベルの定理（収束するべき級数は半径方向に連続）によりその値は $\frac{π - θ}{2}$ です。よって $P_{1} (x) = - \frac{1}{π} \cdot π (\frac{1}{2} - x) = x - \frac{1}{2} = B_{1} (x)$ 。 $k = 2$ : 条件収束の級数を項別に積分するのは避け、 $r < 1$ の段階で積分します。 $g_{r}$ の級数は $θ$ について一様収束するので $\int_{0}^{θ} g_{r} d t = \sum_{n \geq 1} \frac{r ^{n} ( 1 - c o s n θ )}{n ^{2}}$ 。 $r \to 1$ のとき右辺は（各項が $\frac{2}{n ^{2}}$ 以下で $r \in [0, 1]$ について一様収束するので） $\sum \frac{1 - c o s n θ}{n ^{2}}$ に、左辺は $∣ g_{r} ∣ < \frac{π}{2}$ と、 $g_{r} (t) = - ar g (1 - r e^{i t})$ が $(r, t) \in [0, 1] \times [δ, 2 π - δ]$ で連続（よって一様連続）なため各 $[δ, 2 π - δ]$ で一様に $\frac{π - t}{2}$ に近づくことから $\int_{0}^{θ} \frac{π - t}{2} d t$ に近づきます。こうして $\sum_{n \geq 1} \frac{1 - c o s 2 π n x}{n ^{2}} = π^{2} (x - x^{2})$ （ $0 \leq x \leq 1$ ）。 $P_{2} (x) = \frac{1}{π ^{2}} \sum_{n \geq 1} \frac{c o s 2 π n x}{n ^{2}}$ なので $P_{2} (x) = x^{2} - x + c$ （ $c$ は定数）、 $\int_{0}^{1} P_{2} d x = 0$ （項ごとに $\int_{0}^{1} cos 2 π n x d x = 0$ ）から $c = \frac{1}{6}$ 、 $P_{2} = B_{2}$ 。 $k \geq 3$ （帰納法）: $P_{k - 1} = B_{k - 1}$ を仮定します。 $P_{k - 1}$ の級数は $\sum \frac{1}{n ^{k - 1}}$ で抑えられ一様収束するので項別に積分でき、 $\int_{0}^{x} e^{2 π in t} d t = \frac{e ^{2 π in x} - 1}{2 π in}$ から $\int_{0}^{x} k P_{k - 1} d t = P_{k} (x) - P_{k} (0)$ 。一方 $\int_{0}^{x} k B_{k - 1} d t = B_{k} (x) - B_{k} (0)$ なので $P_{k} - B_{k}$ は $[0, 1]$ で定数で、 $\int_{0}^{1} P_{k} d x = 0 = \int_{0}^{1} B_{k} d x$ よりその定数は $0$ です（ $x = 0$ とすれば $ζ (2 k)$ の公式そのものです）。

2. 指標の有限フーリエ展開。 $τ (χ) = \sum_{a = 1}^{f} χ (a) ζ^{a}$ （ $ζ = e^{2 π i / f}$ ）、 $S (n) = \sum_{a = 1}^{f} χ ˉ (a) ζ^{an}$ とおき、原始的な $χ$ ならすべての整数 $n$ で $S (n) = χ (n) τ (χ ˉ)$ を示します（ $f = 1$ なら両辺 $1$ ）。 $g cd (n, f) = 1$ なら $a \mapsto an$ は法 $f$ の剰余類の並べかえなので $S (n) = χ (n) \sum_{a} χ ˉ (an) ζ^{an} = χ (n) τ (χ ˉ)$ 。 $d = g cd (n, f) > 1$ なら右辺は $0$ です。 $f = d f^{'}$ 、 $n = d n^{'}$ とおくと $ζ^{an} = e^{2 π ia n^{'} / f^{'}}$ は $a mod f^{'}$ だけで決まります。 $χ$ は法 $f^{'}$ （ $< f$ ）の指標から誘導されないので、 $c \equiv 1 (mod f^{'})$ 、 $g cd (c, f) = 1$ 、 $χ (c) \neq = 1$ となる $c$ があります。 $a \mapsto a c$ も並べかえで $ζ^{a c n} = ζ^{an}$ なので $S (n) = \sum_{a} χ ˉ (a c) ζ^{a c n} = χ ˉ (c) S (n)$ 、 $χ ˉ (c) \neq = 1$ より $S (n) = 0$ 。次に $\sum_{n = 0}^{f - 1} ∣ S (n) ∣^{2}$ を二通りに計算すると、この結果からは $∣ τ (χ ˉ) ∣^{2} φ (f)$ 、展開すると $\sum_{a, b} χ ˉ (a) χ (b) \sum_{n = 0}^{f - 1} ζ^{(a - b) n} = f φ (f)$ なので $∣ τ (χ ˉ) ∣^{2} = f$ 。 $τ (χ ˉ) = \sum_{a} χ (a) ζ^{- a} = \sum_{a} χ (- a) ζ^{a} = χ (- 1) τ (χ)$ と合わせて $τ (χ) τ (χ ˉ) = χ (- 1) f$ 、特に $\frac{1}{τ ( χ ˉ )} = \frac{χ ( - 1 ) τ ( χ )}{f}$ です。

3. 組み合わせる。 1 を $B_{k, χ ˉ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ ˉ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ に代入し（ $k = 1$ では $f > 1$ で $χ ˉ (f) = 0$ なので $0 < \frac{a}{f} < 1$ の点だけを使い、 $n, - n$ を組にした和のまま有限和の $a$ と入れかえる）、2 を使うと
$B_{k, χ ˉ} = - \frac{f ^{k - 1} k !}{( 2 π i ) ^{k}} n \neq = 0 \sum \frac{S ( n )}{n ^{k}} = - \frac{f ^{k - 1} k !}{( 2 π i ) ^{k}} τ (χ ˉ) n \neq = 0 \sum \frac{χ ( n )}{n ^{k}} .$
負の $n$ の部分は $χ (- n) (- n)^{- k} = χ (- 1) (- 1)^{k} χ (n) n^{- k}$ なので、 $\sum_{n \neq = 0} \frac{χ ( n )}{n ^{k}} = (1 + χ (- 1) (- 1)^{k}) L (k, χ)$ （ $k = 1$ でも組にした和として成り立つ）。 $χ (- 1) = (- 1)^{k}$ のときだけこれが $2 L (k, χ)$ になり $L (k, χ)$ を取り出せます（逆の偶奇では $0$ になって何も分かりません）。 $\frac{1}{τ ( χ ˉ )} = \frac{( - 1 ) ^{k} τ ( χ )}{f}$ で整理すると $L (k, χ) = (- 1)^{k - 1} \frac{τ ( χ )}{2} (\frac{2 π i}{f})^{k} \frac{B _{k, χ ˉ}}{k !}$ です。 $χ = 1$ （ $f = 1$ , $τ = 1$ ）、 $k = 2$ とすると $- \frac{1}{2} (2 π i)^{2} \frac{B _{2}}{2} = \frac{π ^{2}}{6} = ζ (2)$ に戻ります。前提の $L (1 - k, χ ˉ) = - \frac{B _{k, χ ˉ}}{k}$ と合わせると、 $L (k, χ)$ と $L (1 - k, χ ˉ)$ を結ぶ関数等式の特殊な場合にもなっています。

手順

$χ$ が原始的であることと導手 $f$ を確かめ、 $χ (- 1) = (- 1)^{k}$ が成り立つことを確認する（成り立たなければこの方法は使えない）
ガウス和 $τ (χ) = \sum_{a = 1}^{f} χ (a) e^{2 π ia / f}$ を求める。2 次指標なら二次ガウス和 $G (N)$ の値を使う
一般ベルヌーイ数 $B_{k, χ ˉ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ ˉ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ を計算する（ $χ$ ではなく $χ ˉ$ を使う）
$L (k, χ) = (- 1)^{k - 1} \frac{τ ( χ )}{2} (\frac{2 π i}{f})^{k} \frac{B _{k, χ ˉ}}{k !}$ に代入し、 $i$ のべきと根号を整理する

例題

$χ_{- 3}$ を法 3 の原始的指標（ $n \equiv 1$ で $1$ 、 $n \equiv 2$ で $- 1$ 、 $3 ∣ n$ で $0$ ）とする。 $L (3, χ_{- 3}) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{χ _{- 3} ( n )}{n ^{3}}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f = 3$ で原始的。 $χ_{- 3} (- 1) = χ_{- 3} (2) = - 1 = (- 1)^{3}$ なので、 $k = 3$ で公式が使える。

【手順 2】 $ω = e^{2 π i /3}$ とする。 $n^{2} mod 3$ は $0, 1, 1$ なので $G (3) = \sum_{n = 0}^{2} ω^{n^{2}} = 1 + 2 ω$ で、 $\sum_{a = 0}^{2} ω^{a} = 0$ より $1 + 2 ω = \sum_{a = 0}^{2} (1 + χ_{- 3} (a)) ω^{a} = τ (χ_{- 3})$ 。 $3 \equiv 3 (mod 4)$ なので $τ (χ_{- 3}) = G (3) = i 3$ （実際 $1 + 2 ω = i 3$ ）。

【手順 3】 $χ_{- 3}$ は実数値なので $χ ˉ_{- 3} = χ_{- 3}$ 。 $B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ より $B_{3} (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27}$ 、 $B_{3} (\frac{2}{3}) = - \frac{1}{27}$ で
$B_{3, χ ˉ_{- 3}} = 3^{2} (1 \cdot \frac{1}{27} + (- 1) \cdot (- \frac{1}{27})) = \frac{2}{3} .$

【手順 4】 $(\frac{2 π i}{3})^{3} = - \frac{8 π ^{3}}{27} i$ なので
$L (3, χ_{- 3}) = (- 1)^{2} \cdot \frac{i 3}{2} \cdot (- \frac{8 π ^{3}}{27} i) \cdot \frac{2/3}{6} = \frac{4 3 π ^{3}}{27} \cdot \frac{1}{9} = \frac{4 3 π ^{3}}{243} .$
（ $= \frac{4 π ^{3}}{81 3} \approx 0.8840$ で、 $1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{64} - \frac{1}{125} + \dots$ と合う。）

答え: $\frac{4 3 π ^{3}}{243}$

よくある誤り

偶奇が合わない $k$ にも公式を当てはめてしまう誤り。例えば奇指標 $χ_{- 3}$ で $L (2, χ_{- 3}) = - \frac{τ}{2} (\frac{2 π i}{3})^{2} \frac{B _{2, χ_{- 3}}}{2}$ とすると $B_{2, χ_{- 3}} = 3 (B_{2} (\frac{1}{3}) - B_{2} (\frac{2}{3})) = 0$ から $L (2, χ_{- 3}) = 0$ になってしまうが、 $L (2, χ_{- 3}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{25} + \dots > 0$ である。 $χ (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ では $n$ と $- n$ の項が打ち消し合うので、この方法では値は求まらない。
$B_{k, χ ˉ}$ の代わりに $B_{k, χ}$ を使ってしまう誤り。複素数値の指標では値が複素共役だけずれる。正しくはフーリエ展開 $\sum_{a} χ ˉ (a) e^{2 π ian / f} = χ (n) τ (χ ˉ)$ から出てくるのは $χ ˉ$ で、 $L (k, χ)$ には $B_{k, χ ˉ}$ が現れる（実数値の 2 次指標なら同じ）。
$n$ と $- n$ をまとめたときの $\frac{1}{2}$ や、 $f^{- k}$ を落とす誤り。例えば $L (3, χ_{- 3}) = τ (χ_{- 3}) (2 π i)^{3} \frac{B _{3, χ_{- 3}}}{3 !}$ とすると $\frac{8 3 π ^{3}}{9}$ となり、正しい値の $54$ 倍になる。正しくは $\frac{τ ( χ )}{2} (\frac{2 π i}{f})^{k}$ で、 $\frac{4 3 π ^{3}}{243}$ 。
ガウス和を共役の $\sum χ (a) e^{- 2 π ia / f}$ で計算して $τ (χ_{- 3}) = - i 3$ としてしまう誤り。すると $L (3, χ_{- 3}) = - \frac{4 3 π ^{3}}{243} < 0$ となり、 $1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{64} - \dots > 0$ と矛盾する。正しくは $τ (χ) = \sum_{a} χ (a) e^{+ 2 π ia / f}$ で、 $τ (χ_{- 3}) = G (3) = i 3$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$χ$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $χ (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (n \equiv 1, 7 (mod 8)) (n \equiv 3, 5 (mod 8)) (n が偶数)$ で定まるものとする（導手 $8$ の原始的指標である）。 $L (2, χ) = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n )}{n ^{2}}$ の値を求めよ。ただし、導手 $f$ の原始的な偶指標 $χ$ （ $χ (- 1) = 1$ を満たすもの）と正の偶数 $k$ に対して成り立つ公式 $L (k, χ) = (- 1)^{1 + \frac{k}{2}} \frac{τ ( χ )}{2} (\frac{2 π}{f})^{k} \frac{B _{k, χ ˉ}}{k !}$ を用いてよい。ここで $τ (χ) = \sum_{a = 1}^{f} χ (a) e^{2 π ia / f}$ はガウス和、 $B_{k, χ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ は一般ベルヌーイ数、 $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ である。

L 関数の正の整数での値

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題