一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値

$B_{k, χ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ （ $f$ は導手）を計算し、 $L (1 - k, χ) = - \frac{B _{k, χ}}{k}$ を使って $L (- 2, χ)$ などの値を求められる。 $χ (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ のとき値が $0$ になることも使える

前提

リーマンゼータ関数の特殊値（大学院数学解析的整数論）
原始的指標と導手（大学院数学解析的整数論）

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算数中学高校大学大学院

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ド・モアブルの定理（数学C 複素数平面）
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1 次元表現とアーベル化（大学院数学表現論）
ディリクレ指標の定義と値（大学院数学解析的整数論）
互いに素な法への分解（数学A 整数の性質）
順列・円順列・重複順列（数学A 場合の数と確率）
組合せ（数学A 場合の数と確率）
確率の定義と和事象・余事象（数学A 場合の数と確率）
包除原理（数学A 場合の数と確率）
オイラー関数の計算（大学数学整数論）
フェルマーの小定理とオイラーの定理（大学数学整数論）
n 進法（数学A 整数の性質）
繰り返し二乗法によるべき剰余（大学数学暗号理論）
平方剰余とオイラーの規準（大学数学整数論）
平方剰余の相互法則（大学数学整数論）
原始的指標と導手（大学院数学解析的整数論）

説明

リーマンゼータ関数の負の整数での値 $ζ (1 - k) = - \frac{B _{k}}{k}$ には、ディリクレ $L$ 関数版があります。導手 $f$ の原始的指標 $χ$ に対して一般ベルヌーイ数 $B_{k, χ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ を有限和で計算すれば、解析接続した $L$ 関数の値が $L (1 - k, χ) = - \frac{B _{k, χ}}{k}$ （ $k \geq 1$ ）で求まります。 $L (- 2, χ_{- 3})$ のような具体的な値の計算や、 $χ (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ のときに値が $0$ になる（自明な零点）ことの判定に使います。

なぜそうしてよいのか

ベルヌーイ多項式 $B_{k} (x)$ を $\frac{t e ^{x t}}{e ^{t} - 1} = \sum_{k \geq 0} B_{k} (x) \frac{t ^{k}}{k !}$ で定めます（ $B_{k} (0) = B_{k}$ 。具体的には $B_{1} (x) = x - \frac{1}{2}$ , $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ , $B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ ）。ゼータの場合 $ζ (1 - k) = - \frac{B _{k}}{k}$ は、 $ζ (s)$ の積分表示 $Γ (s) ζ (s) = \int_{0}^{\infty} \frac{t ^{s - 1}}{e ^{t} - 1} d t$ の被積分関数 $\frac{t}{e ^{t} - 1}$ のテイラー係数が負の整数での値を決める、という仕組みから出てきました。 $L$ 関数では $n$ を法 $f$ の剰余類 $n \equiv a$ に分けると
$L (s, χ) = a = 1 \sum f χ (a) m \geq 0 \sum (a + m f)^{- s} = f^{- s} a = 1 \sum f χ (a) ζ (s, \frac{a}{f}), ζ (s, x) = m \geq 0 \sum (m + x)^{- s}$
となり、各 $ζ (s, x)$ の被積分関数は $\frac{e ^{- x t}}{1 - e ^{- t}}$ に変わります。同じ仕組みで $ζ (1 - k, x) = - \frac{B _{k} ( x )}{k}$ となり（ $x = 1$ とすると $B_{k} (1) = B_{k}$ （ $k \geq 2$ ）で $ζ (1 - k)$ の公式に戻ります）、代入すると
$L (1 - k, χ) = f^{k - 1} a = 1 \sum f χ (a) (- \frac{B _{k} ( a / f )}{k}) = - \frac{B _{k, χ}}{k} .$
$f^{k - 1}$ は $f^{- s}$ に $s = 1 - k$ を代入したものです。同値な定義として $\sum_{a = 1}^{f} χ (a) \frac{t e ^{a t}}{e ^{f t} - 1} = \sum_{k} B_{k, χ} \frac{t ^{k}}{k !}$ もあり、左辺を $\frac{1}{f} \cdot \frac{( f t ) e ^{(a / f) (f t)}}{e ^{f t} - 1}$ と見れば上の有限和の式が出ます。

値が $0$ になる理由: 生成関数で $t \to - t$ とすると $B_{k} (1 - x) = (- 1)^{k} B_{k} (x)$ がわかります。 $f > 1$ なら $χ (f) = 0$ なので、和の添字を $a \to f - a$ と取りかえ、 $χ (f - a) = χ (- 1) χ (a)$ を使うと $B_{k, χ} = χ (- 1) (- 1)^{k} B_{k, χ}$ 。よって $χ (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ なら $B_{k, χ} = 0$ 、つまり偶指標では $L (1 - k, χ)$ は $k$ が奇数のとき（ $L (0), L (- 2), \dots$ ）、奇指標では $k$ が偶数のとき（ $L (- 1), L (- 3), \dots$ ）に $0$ です。

手順

求める値 $L (- m, χ)$ に対して $k = m + 1$ とおく（ $1 - k = - m$ ）
$χ$ の導手 $f$ と偶奇 $χ (- 1)$ を調べる。 $χ (- 1) \neq = (- 1)^{k}$ なら（ $f > 1$ のとき）値は $0$ で終わり
ベルヌーイ多項式 $B_{k} (x)$ を書き、 $a = 1, \dots, f$ のうち $χ (a) \neq = 0$ のものについて $B_{k} (\frac{a}{f})$ を計算する
$B_{k, χ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{k} (\frac{a}{f})$ を計算する
$L (1 - k, χ) = - \frac{B _{k, χ}}{k}$ に代入する

例題

$χ_{- 3}$ を法 3 の原始的指標 $χ_{- 3} (n) = (\frac{- 3}{n})$ （ $n \equiv 1$ で $1$ 、 $n \equiv 2$ で $- 1$ 、 $3 ∣ n$ で $0$ ）とする。解析接続した $L (s, χ_{- 3})$ の $s = - 2$ での値 $L (- 2, χ_{- 3})$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $1 - k = - 2$ より $k = 3$ 。

【手順 2】導手は $f = 3$ 。 $χ_{- 3} (- 1) = χ_{- 3} (2) = - 1 = (- 1)^{3}$ なので、値は $0$ とは限らず計算が必要。

【手順 3】 $B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x$ より
$B_{3} (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{27}, B_{3} (\frac{2}{3}) = \frac{8}{27} - \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = - \frac{1}{27} .$
（ $a = 3$ は $χ_{- 3} (3) = 0$ なので不要。）

【手順 4】 $B_{3, χ_{- 3}} = 3^{2} (1 \cdot \frac{1}{27} + (- 1) \cdot (- \frac{1}{27})) = 9 \cdot \frac{2}{27} = \frac{2}{3}$ 。

【手順 5】 $L (- 2, χ_{- 3}) = - \frac{B _{3, χ_{- 3}}}{3} = - \frac{2}{9}$ 。

答え: $- \frac{2}{9}$

よくある誤り

$L (- m, χ)$ に $k = m$ を使ってしまう誤り。例えば $L (- 2, χ_{- 3}) = - \frac{B _{2, χ_{- 3}}}{2}$ とすると、 $χ_{- 3}$ は奇指標で $k = 2$ は偶数なので $0$ になってしまう。正しくは $1 - k = - 2$ より $k = 3$ で、 $L (- 2, χ_{- 3}) = - \frac{B _{3, χ_{- 3}}}{3} = - \frac{2}{9}$ 。
因子 $f^{k - 1}$ を落とす誤り。 $B_{3, χ_{- 3}} = \sum_{a} χ_{- 3} (a) B_{3} (a /3) = \frac{2}{27}$ としてしまうと $L (- 2, χ_{- 3}) = - \frac{2}{81}$ になる。正しくは $B_{3, χ_{- 3}} = 3^{2} \cdot \frac{2}{27} = \frac{2}{3}$ 。
導手ではなく、指標を誘導する大きい法で計算して原始的指標の値だと思ってしまう誤り。法 $q$ の非原始的指標 $χ$ （ $g cd (n, q) > 1$ で 0）で計算した値は $L (1 - k, χ) = L (1 - k, χ^{*}) \prod_{p ∣ q} (1 - χ^{*} (p) p^{k - 1})$ （ $χ^{*}$ は $χ$ を誘導する原始的指標）で、余分なオイラー因子が付く。例えば法 2 の単位指標では $L (- 1, χ_{0}) = (1 - 2) ζ (- 1) = \frac{1}{12}$ で、 $ζ (- 1) = - \frac{1}{12}$ ではない。
公式の符号を落として $L (1 - k, χ) = \frac{B _{k, χ}}{k}$ としてしまう誤り。正しくは $ζ (1 - k) = - \frac{B _{k}}{k}$ と同じく負号が付き、 $L (1 - k, χ) = - \frac{B _{k, χ}}{k}$ （例: 法 4 の奇指標 $χ_{- 4}$ では $B_{3, χ_{- 4}} = \frac{3}{2}$ 、 $L (- 2, χ_{- 4}) = - \frac{1}{2}$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$χ$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して $χ (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (n \equiv 1, 7 (mod 8)) (n \equiv 3, 5 (mod 8)) (n が偶数)$ で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的指標である）。 $L (s, χ) = \sum_{n = 1}^{\infty} χ (n) n^{- s}$ を全複素平面に解析接続した関数について、 $L (- 1, χ)$ の値を求めよ。ただし、ベルヌーイ多項式 $B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6}$ を用いてよい。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

L 関数の正の整数での値（大学院数学解析的整数論）
2 次体のデデキントゼータ関数（大学院数学解析的整数論）