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解析的整数論の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学解析的整数論

$χ$ を法 $8$ のディリクレ指標で、整数 $n$ に対して
$χ (n) = ⎩ ⎨ ⎧ 1 - 1 0 (n \equiv 1, 3 (mod 8)) (n \equiv 5, 7 (mod 8)) (n が偶数)$
で定まるものとする（これは導手 $8$ の原始的な指標である）。ディリクレの $L$ 関数
$L (s, χ) = n = 1 \sum \infty \frac{χ ( n )}{n ^{s}} (Re s > 1)$
は複素平面全体に正則関数として解析接続される。その $s = - 2$ における値 $L (- 2, χ)$ を求めよ。

この問題で使うもの

一般ベルヌーイ数と L 関数の負の整数での値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（118 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$n = 8 m + a$ と剰余で分けて、 $L (s, χ)$ をフルヴィッツのゼータ関数 $ζ (s, a /8)$ の 1 次結合で表しましょう。

ヒント 2

負の整数での値は $ζ (- m, x) = - \frac{B _{m + 1} ( x )}{m + 1}$ で与えられます。すなわち $L (- 2, χ) = - \frac{B _{3, χ}}{3}$ , $B_{3, χ} = 8^{2} a = 1 \sum 8 χ (a) B_{3} (a /8)$ です。

ヒント 3

$B_{3} (x) = x (x - \frac{1}{2}) (x - 1)$ を $x = \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}$ で計算すると、それぞれ $\frac{21}{512}, \frac{15}{512}, - \frac{15}{512}, - \frac{21}{512}$ になります。

答えと解説

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- 3

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解説を読む

フルヴィッツのゼータ関数による表示 $0 < x \leq 1$ に対し $ζ (s, x) = m = 0 \sum \infty (m + x)^{- s}$ とおく。 $n = 8 m + a$ ( $1 \leq a \leq 8$ ) と分けると、 $Re s > 1$ で
$L (s, χ) = a = 1 \sum 8 χ (a) m = 0 \sum \infty (8 m + a)^{- s} = 8^{- s} a = 1 \sum 8 χ (a) ζ (s, \frac{a}{8})$
であり、この等式は解析接続によって全平面で成り立つ。

負の整数での値 よく知られているように、0 以上の整数 $m$ に対して
$ζ (- m, x) = - \frac{B _{m + 1} ( x )}{m + 1}$
が成り立つ（ $B_{k} (x)$ はベルヌーイ多項式）。したがって
$L (- 2, χ) = 8^{2} a = 1 \sum 8 χ (a) (- \frac{B _{3} ( a /8 )}{3}) = - \frac{64}{3} a = 1 \sum 8 χ (a) B_{3} (\frac{a}{8}) .$
（これは一般ベルヌーイ数 $B_{3, χ} = 8^{2} \sum_{a} χ (a) B_{3} (a /8)$ を用いた公式 $L (- 2, χ) = - \frac{B _{3, χ}}{3}$ と同じである。）

ベルヌーイ多項式の値 $B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x = x (x - \frac{1}{2}) (x - 1)$ より
$B_{3} (\frac{1}{8}) = \frac{1}{8} \cdot (- \frac{3}{8}) \cdot (- \frac{7}{8}) = \frac{21}{512}, B_{3} (\frac{3}{8}) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{1}{8}) \cdot (- \frac{5}{8}) = \frac{15}{512},$
$B_{3} (\frac{5}{8}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot (- \frac{3}{8}) = - \frac{15}{512}, B_{3} (\frac{7}{8}) = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{1}{8}) = - \frac{21}{512} .$
偶数の $a$ では $χ (a) = 0$ なので
$a = 1 \sum 8 χ (a) B_{3} (\frac{a}{8}) = \frac{21}{512} + \frac{15}{512} - (- \frac{15}{512}) - (- \frac{21}{512}) = \frac{72}{512} = \frac{9}{64} .$

結論
$L (- 2, χ) = - \frac{64}{3} \cdot \frac{9}{64} = - 3.$

検算 $χ$ は $χ (- 1) = χ (7) = - 1$ の奇指標で、ガウス和は $τ (χ) = i 8$ 。関数等式から得られる公式
$L (3, χ) = \frac{τ ( χ )}{2 i} (\frac{2 π}{8})^{3} \frac{B _{3, χ}}{3 !}$
に $B_{3, χ} = 9$ を代入すると $L (3, χ) = 2 \cdot \frac{π ^{3}}{64} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 π ^{3}}{64 2}$ となり、既知の値と一致する。また同様に $L (0, χ) = - B_{1, χ} = - \frac{1 + 3 - 5 - 7}{8} = 1$ で、これは $Q (- 2)$ の類数公式 $L (0, χ) = \frac{2 h}{w} = \frac{2 \cdot 1}{2}$ とも合う。

別解

$χ$ は法 $8$ の奇指標（ $χ (- 1) = χ (7) = - 1$ ）で、一般ベルヌーイ数との関係 $L (1 - k, χ) = - B_{k, χ} / k$ を $k = 3$ で用いる。 $B_{k, χ} = f^{k - 1} \sum_{a = 1}^{f} χ (a) B_{k} (a / f)$ （ $f = 8$ ）、 $B_{3} (x) = x (x - \frac{1}{2}) (x - 1)$ 。

$B_{3} (1/8) = \frac{1}{8} \cdot (- \frac{3}{8}) (- \frac{7}{8}) = \frac{21}{512}$ , $B_{3} (3/8) = \frac{3}{8} (- \frac{1}{8}) (- \frac{5}{8}) = \frac{15}{512}$ , $B_{3} (5/8) = \frac{5}{8} \cdot \frac{1}{8} \cdot (- \frac{3}{8}) = - \frac{15}{512}$ , $B_{3} (7/8) = \frac{7}{8} \cdot \frac{3}{8} \cdot (- \frac{1}{8}) = - \frac{21}{512}$ 。

$\sum χ (a) B_{3} (a /8) = \frac{21 + 15 + 15 + 21}{512} = \frac{72}{512}$ 。 $B_{3, χ} = 8^{2} \cdot \frac{72}{512} = 9$ 。したがって $L (- 2, χ) = - \frac{9}{3} = - 3$ 。

検算: 同じ公式を法 4 の指標に用いると $B_{3, χ} = 16 \cdot \frac{6}{64} = \frac{3}{2}$ , $L (- 2, χ_{- 4}) = - \frac{1}{2}$ で既知の値と一致する。

答え: $- 3$

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