区分求積法

和の極限を定積分に直して求め、定積分を使って和を評価できる

前提

定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）

説明

区分求積法は、 $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ のような「細かく分けた和の極限」を、定積分 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ に置き換えて求める方法です。 $\sum$ の公式では直接計算できない和の極限も、定積分の計算に持ち込めば求められます。逆に、面積の大小関係を使って $k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ のような和を定積分で上下から評価する（不等式ではさむ）ときにも使います。

なぜそうしてよいのか

$f (x)$ を区間 $0 \leq x \leq 1$ で連続な関数とします。この区間を $n$ 等分すると、幅 $\frac{1}{n}$ の小区間が $n$ 個でき、 $k$ 番目の小区間の右端は $x = \frac{k}{n}$ です。各小区間に、幅 $\frac{1}{n}$ 、高さ $f (\frac{k}{n})$ の長方形を立てると、その面積の合計は $\frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ です。 $f (x) \geq 0$ なら、これは曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸ではさまれた部分の面積を長方形で近似したものです。 $n$ を大きくすると長方形が細くなり、はみ出しや不足が小さくなるので、和は定積分 $\int_{0}^{1} f (x) d x$ に近づきます（ $f (x)$ が負の値をとる部分では、面積に負の符号をつけて考えれば同じことがいえます）。

たとえば $f (x)$ が増加関数なら、小区間 $\frac{k - 1}{n} \leq x \leq \frac{k}{n}$ で $f (\frac{k - 1}{n}) \leq f (x) \leq f (\frac{k}{n})$ が成り立ちます。これを各小区間で積分して足すと $\frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) \leq \int_{0}^{1} f (x) d x \leq \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n})$ となります。両端の差は $\frac{1}{n} {f (1) - f (0)}$ で、 $n \to \infty$ のとき $0$ に近づくので、はさみうちにより両端の和はどちらも定積分に収束します。減少関数でも同様です。一般の連続関数でも同じ結論が成り立ち、
$n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n f (\frac{k}{n}) = n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 0 \sum n - 1 f (\frac{k}{n}) = \int_{0}^{1} f (x) d x$
となります。区間 $a \leq x \leq b$ を $n$ 等分した場合は、幅が $\frac{b - a}{n}$ になり、 $n \to \infty lim \frac{b - a}{n} k = 1 \sum n f (a + \frac{b - a}{n} k) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ です。

上の不等式の考え方は和の評価にも使えます。 $x > 0$ で減少する $f (x)$ では、 $k \leq x \leq k + 1$ で $f (k + 1) \leq f (x) \leq f (k)$ なので $f (k + 1) \leq \int_{k}^{k + 1} f (x) d x \leq f (k)$ が成り立ちます。これを $k$ について足し合わせれば、和を定積分ではさむことができます。

手順

和の各項から $\frac{1}{n}$ をくくり出し、残りを $\frac{k}{n}$ だけの式に書き直す。例: $\frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}$
$\frac{k}{n}$ を $x$ に置き換えた関数 $f (x)$ を決める。
$k$ の範囲から積分区間を決める。 $k = 1$ から $n$ まで（または $0$ から $n - 1$ まで）なら $\frac{k}{n}$ は $0$ から $1$ まで動くので $\int_{0}^{1} f (x) d x$ 。 $k$ が $1$ から $2 n$ までなら $\int_{0}^{2} f (x) d x$ のように、 $\frac{k}{n}$ の動く範囲を見る。
定積分を計算する（置換積分・部分積分などを使う）。
和を評価するときは、増減を調べて $f (k + 1) \leq \int_{k}^{k + 1} f (x) d x \leq f (k)$ （減少関数の場合）のような不等式を作り、 $k$ について足し合わせる。

例題

極限 $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}}$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】各項の分母と分子を $n^{2}$ で割り、 $\frac{1}{n}$ をくくり出すと
$\frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}$
となる。よって $k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{\frac{k}{n}}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}$ 。

【手順2】 $\frac{k}{n}$ を $x$ に置き換えて、 $f (x) = \frac{x}{1 + x ^{2}}$ とする。これは $0 \leq x \leq 1$ で連続である。

【手順3】 $k$ は $1$ から $n$ まで動くので、 $\frac{k}{n}$ は $0$ から $1$ までの範囲にある。よって
$n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$

【手順4】 $t = 1 + x^{2}$ と置換すると $d t = 2 x d x$ で、 $x$ が $0$ から $1$ まで変わるとき $t$ は $1$ から $2$ まで変わる。よって
$\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \cdot \frac{1}{2} d t = \frac{1}{2} [lo g t]_{1}^{2} = \frac{1}{2} lo g 2$
（ $t > 0$ なので $lo g ∣ t ∣ = lo g t$ ）。

したがって、求める極限は $\frac{1}{2} lo g 2$ 。

答え: $\frac{1}{2} lo g 2$

よくある誤り

$\frac{1}{n}$ をくくり出さずに $n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} = \int_{0}^{1} \frac{k}{n ^{2} + k ^{2}} d x$ のように、 $k$ や $n$ が残ったまま積分にしてしまう誤り。正しくは、まず $\frac{1}{n} \cdot \frac{\frac{k}{n}}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}}$ と $\frac{1}{n} \times (\frac{k}{n} の式)$ の形にしてから、 $\frac{k}{n}$ を $x$ に置き換えて $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x$ とする。
和の範囲が $k = 1$ から $2 n$ までなのに、積分区間をいつも $0$ から $1$ にしてしまう誤り。例えば $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum 2 n \frac{k}{n}$ を $\int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ とするのは誤りで、 $\frac{k}{n}$ は $0$ から $2$ まで動くので、正しくは $\int_{0}^{2} x d x = 2$ 。
$\frac{1}{n}$ をくくり出した残りが $\frac{k}{n}$ の式になっていないのに積分に直してしまう誤り。例えば $\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{k}$ を $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x$ とすることはできない（ $\frac{1}{k} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\frac{k}{n}}$ なので、残りに余分な $\frac{1}{n}$ が出てくる）。正しくは、残りがちょうど $f (\frac{k}{n})$ の形になることを確かめてから積分に直す。
和を定積分で評価するとき、積分区間の端をずらし忘れる誤り。例えば $k = 1 \sum n \frac{1}{k} > \int_{1}^{n} \frac{1}{x} d x$ とだけ書くと、使える評価を弱めてしまう。 $\frac{1}{k} \geq \int_{k}^{k + 1} \frac{1}{x} d x$ （等号は成り立たない）を $k = 1$ から $n$ まで足すと、正しくは $k = 1 \sum n \frac{1}{k} > \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} d x = lo g (n + 1)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

オイラー・マクローリンの和公式（大学院数学特殊関数・漸近解析）
和のガウス近似による漸近形（大学院数学特殊関数・漸近解析）