積分法の問題

区分求積法の公式

関数 $f(x)$ が区間 $0\leqq x\leqq 1$ で連続のとき、次が成り立ちます。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$
区間 $[0,1]$ を $n$ 等分し、幅 $\frac{1}{n}$、高さ $f\left(\frac{k}{n}\right)$ の長方形の面積を足し合わせると、その和は $n\to \infty$ のとき $y=f(x)$ の下の面積に近づく、という意味です。

手順 1：和を $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形と見る

与えられた式は、すでに $\frac{1}{n}$ が外に出ていて、$\Sigma$ の中身が $\frac{k}{n}$ だけで書かれています。そこで $f(x)=e^x$ とおくと $$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$ となります。

手順 2：積分区間を決める

$k=1$ のとき $\frac{k}{n}=\frac{1}{n}$ で、これは $n\to \infty$ のとき $0$ に近づきます。$k=n$ のとき $\frac{k}{n}=1$ です。よって積分区間は $0$ から $1$ です。$f(x)=e^x$ はこの区間で連続なので、公式が使えます。

手順 3：定積分に直して計算する

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{e}^{\frac{k}{n}}={\int }_0^1{e}^{x}dx=[e^x{]}_0^1=e^1-e^0=e-1$$

よって、求める極限値は $e-1$ です。

区分求積法より ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{e}^{k/n}={\int }_0^1{e}^{x}dx=e-1$。

検算：等比数列の和として計算すると ${\sum }_{k=1}^n{e}^{k/n}=e^{1/n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}$ である。これを $n$ で割ると $\frac{1}{n}\cdot \frac{e-1}{e^{1/n}-1}\cdot e^{1/n}$ となる。$h=1/n\to 0$ のとき $\frac{e^h-1}{h}\to 1$ なので、$\frac{h}{e^h-1}\to 1$ であり、また $e^{1/n}\to 1$ である。よって極限は $e-1$ となり、区分求積法の結果と一致する。