積分法の問題

区分求積法では、連続な関数 $f(x)$ について次が成り立つことを使います。$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx$$

手順1: 和を $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形に直す。

各項の分母と分子を $n$ で割ると、$$\frac{1}{n+2k}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{1+2\cdot \frac{k}{n}}$$となります。よって $$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+2k}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+2\cdot \frac{k}{n}}$$です。

手順2: 関数 $f(x)$ を読み取る。

$\frac{k}{n}$ を $x$ に置き換えると $f(x)=\frac{1}{1+2x}$ です。この関数は $0\le x\le 1$ で連続です。$k$ は $1$ から $n$ まで動くので、$\frac{k}{n}$ は $\frac{1}{n}$ から $1$ まで動きます。したがって積分区間は $0\le x\le 1$ です。

手順3: 定積分に直して計算する。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+2k}={\int }_0^1\frac{1}{1+2x}dx$$
$(\log (1+2x){)}^{\prime }=\frac{2}{1+2x}$ なので、$\frac{1}{1+2x}$ の原始関数の1つは $\frac{1}{2}\log (1+2x)$ です（$0\le x\le 1$ では $1+2x>0$）。よって
$${\int }_0^1\frac{1}{1+2x}dx={\left[\frac{1}{2}\log (1+2x)\right]}_0^1=\frac{1}{2}\log 3-\frac{1}{2}\log 1=\frac{1}{2}\log 3$$

したがって、求める極限値は $\frac{1}{2}\log 3$ です。

和を区分求積の形に直す。${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+2k}=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\frac{1}{1+2\cdot \frac{k}{n}}$ となる。したがって極限は ${\int }_0^1\frac{1}{1+2x}dx={\left[\frac{1}{2}\log (1+2x)\right]}_0^1=\frac{1}{2}\log 3$。検算として、$n=1$ のとき $1/3$、$n$ が大きいときは ${\int }_1^3\frac{1}{2}\cdot \frac{dt}{t}$ と同じ形なので $\frac{1}{2}\log 3\approx 0.549$ となり、$n=1$ の $0.333$ から $n\to \infty$ で増加して近づくことと矛盾しない。