積分法の問題

手順1：部分分数に分解する

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$$

とおく。両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると

$$1=A(x+2)+B(x+1)=(A+B)x+(2A+B)$$

これが $x$ についての恒等式となるので、係数を比べて

$$A+B=0,2A+B=1$$

これを解くと $A=1,B=-1$ である。よって

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$

（確かめ：右辺を通分すると $\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ となる。）

手順2：それぞれを積分する

$(\log |x+a|{)}^{\prime }=\frac{1}{x+a}$ であるから、$\frac{1}{x+a}$ の原始関数は $\log |x+a|$ である。積分区間 $0\le x\le 1$ では $x+1>0$, $x+2>0$ なので、絶対値ははずせる。

$${\int }_0^1\frac{1}{(x+1)(x+2)}dx={\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1$$

手順3：値を計算する

$$\begin{array}{rl}& (\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)\\ & =\log 2-\log 3-0+\log 2\\ & =2\log 2-\log 3\\ & =\log \frac{4}{3}\end{array}$$

よって、求める値は $\log \frac{4}{3}$ である。

部分分数分解より $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$。よって ${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\log (x+1)-\log (x+2)\right]}_0^1=(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)=2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}$。検算：$\log (4/3)\approx 0.2877$。被積分関数は $x=0$ で $0.5$、$x=1$ で $1/6\approx 0.1667$、$x=0.5$ で $1/(1.5\cdot 2.5)=0.2667$。シンプソン則で $(0.5+4\cdot 0.2667+0.1667)/6\approx 0.2889$ となり、ほぼ一致する。