積分法の問題

手順1：部分分数に分ける

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}$$
とおく。両辺に $(x+1)(x+2)$ を掛けると
$$1=A(x+2)+B(x+1)$$
となる。これが $x$ についての恒等式なので、$x=-1$ を代入すると $1=A$、$x=-2$ を代入すると $1=-B$ より $B=-1$ である。よって
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$$
（実際に右辺を通分すると $\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ となり、正しいことが確かめられる。）

手順2：それぞれを積分する

$\int \frac{1}{x+a}dx=\log |x+a|+C$ を使う。積分区間 $0\le x\le 1$ では $x+1>0$, $x+2>0$ なので絶対値はそのまま外せる。
$${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx=[\log (x+1)-\log (x+2){]}_0^1$$

手順3：値を代入して計算する
$$=(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)=2\log 2-\log 3=\log \frac{4}{3}$$

したがって、求める値は $\log \frac{4}{3}$ である。

部分分数分解より $\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$。確認：右辺を通分すると $\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$。よって ${\int }_0^1\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)dx={\left[\log |x+1|-\log |x+2|\right]}_0^1={\left[\log \frac{x+1}{x+2}\right]}_0^1=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{4}{3}$。検算：$\log (4/3)\approx 0.2877$。被積分関数は $x=0$ で $0.5$、$x=0.5$ で $1/3.75\approx 0.267$、$x=1$ で $1/6\approx 0.167$ なので、シンプソン則で $(0.5+4\times 0.2667+0.1667)/6\approx 0.2889$ となり一致する。