積分法の問題

手順1：部分分数に分ける

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$$
とおく。両辺に $(x-1)(x-2)$ を掛けると
$$1=a(x-2)+b(x-1)=(a+b)x-(2a+b)$$
これが $x$ についての恒等式なので、係数を比べて
$$a+b=0,-(2a+b)=1$$
第1式から $b=-a$。これを第2式に代入すると $-(2a-a)=1$ より $a=-1$、$b=1$。よって
$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$$
（確かめ：右辺を通分すると $\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}$ となり、正しい。）

手順2：それぞれを積分する

$\{\log |x-c|{\}}^{\prime }=\frac{1}{x-c}$ より、$\int \frac{1}{x-c}dx=\log |x-c|+C$ である。積分区間 $3\le x\le 4$ では $x-1>0$、$x-2>0$ なので、絶対値はそのまま外せる。
$${\int }_3^4\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)dx=[\log (x-2)-\log (x-1){]}_3^4$$

手順3：値を代入する

$$=(\log 2-\log 3)-(\log 1-\log 2)$$
$\log 1=0$ だから
$$=\log 2-\log 3+\log 2=2\log 2-\log 3=\log 4-\log 3=\log \frac{4}{3}$$

したがって、求める値は $\log \frac{4}{3}$ である。

部分分数分解より $\frac{1}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}$。区間 $[3,4]$ では $x-1>0$, $x-2>0$ なので
$${\int }_3^4\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}\right)dx={\left[\log \frac{x-2}{x-1}\right]}_3^4=\log \frac{2}{3}-\log \frac{1}{2}=\log \frac{4}{3}.$$
検算：分解は $\frac{(x-1)-(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{1}{(x-1)(x-2)}$ で正しい。被積分関数は区間内で正で、$x=3$ で $1/2$、$x=4$ で $1/6$ なので、積分値は約 $0.29$ 前後となる。$\log (4/3)\approx 0.2877$ でこれと整合する。