オイラー・マクローリンの和公式

ベルヌーイ数 $B_{2 k}$ （ $\frac{x}{e ^{x} - 1} = \sum B_{k} \frac{x ^{k}}{k !}$ ）を使った $\sum_{k = a}^{b} f (k) = \int_{a}^{b} f d x + \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} + \sum_{k \geq 1} \frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} (f^{(2 k - 1)} (b) - f^{(2 k - 1)} (a)) + \dots$ で、 $H_{n} = lo g n + γ + \frac{1}{2 n} - \frac{1}{12 n ^{2}} + \dots$ や $\sum_{k = 1}^{n} k$ の漸近展開の係数を求められる

前提

漸近展開と極限（大学数学微分積分）
区分求積法（数学III 積分法）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）
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自然対数の底 $e$ （数学III 極限）
指数関数・対数関数の導関数（数学III 微分法）
増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
テイラー展開（大学数学微分積分）
漸近展開と極限（大学数学微分積分）
多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
置換積分（数学III 積分法）
部分積分（数学III 積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（数学III 積分法）
区分求積法（数学III 積分法）

説明

オイラー・マクローリンの和公式は、和 $\sum_{k = a}^{b} f (k)$ を積分 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ と、端点での $f$ とその導関数の値による補正項で表す公式です。区分求積法では和を積分で「だいたい」評価しましたが、この公式を使うと、その誤差を $n$ の負のべき（ $n^{- 1}, n^{- 2}, \dots$ や、 $f$ によっては $n^{- 1/2}, n^{- 5/2}, \dots$ のような分数べき）で系統的に展開できます。調和数 $H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ や $\sum_{k = 1}^{n} k$ 、 $lo g n!$ などの漸近展開の係数を求めるときに使います。補正項の係数にはベルヌーイ数 $B_{k}$ （ $\frac{x}{e ^{x} - 1} = \sum_{k \geq 0} B_{k} \frac{x ^{k}}{k !}$ 、 $B_{0} = 1, B_{1} = - \frac{1}{2}, B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = - \frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}$ 、 $3$ 以上の奇数 $k$ では $B_{k} = 0$ ）が現れます。

なぜそうしてよいのか

まず、なぜベルヌーイ数が現れるかを形式的な計算で見ます。 $D$ を微分、 $F$ を $f$ の原始関数とします。テイラー展開 $g (x + 1) = \sum_{j} \frac{g ^{(j)} ( x )}{j !}$ は「 $g (x + 1) = e^{D} g (x)$ 」と書けます。 $S (x + 1) - S (x) = f (x)$ をみたす $S$ があれば $\sum_{k = a}^{b - 1} f (k) = S (b) - S (a)$ なので、 $(e^{D} - 1) S = f$ を解きたい。形式的に $S = \frac{1}{e ^{D} - 1} f = \frac{D}{e ^{D} - 1} F = \sum_{j \geq 0} \frac{B _{j}}{j !} D^{j} F = F - \frac{1}{2} f + \sum_{k \geq 1} \frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} f^{(2 k - 1)}$ となり、 $\sum_{k = a}^{b - 1} f (k)$ に $f (b)$ を足すと $k = a \sum b f (k) = \int_{a}^{b} f d x + \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} + k \geq 1 \sum \frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} (f^{(2 k - 1)} (b) - f^{(2 k - 1)} (a))$ が出てきます。ただし右辺の無限和はふつう収束しません（ $∣ B_{2 k} ∣$ は $(2 k)!$ 程度の速さで増えます）。そこで実際には有限個で打ち切り、誤差を積分で書きます。

厳密な形は部分積分の繰り返しで得られます。 $a < b$ は整数、 $f$ は $[a, b]$ で $2 m$ 回連続微分可能とします。周期 $1$ の関数 $P_{j}$ を次のように定めます。 $P_{1} (x) = x - ⌊ x ⌋ - \frac{1}{2}$ （整数点での値は積分に影響しないので気にしなくてよい）とし、 $j \geq 2$ では $[0, 1]$ 上の多項式 $P_{j}$ を「 $P_{j}^{'} = P_{j - 1}$ かつ $\int_{0}^{1} P_{j} d x = 0$ 」で順に決め（原始関数の積分定数が積分 $0$ の条件でただ 1 つに決まります）、それを周期 $1$ で延長します。 $P_{j} (1) - P_{j} (0) = \int_{0}^{1} P_{j - 1} d x = 0$ （ $j \geq 2$ ）なので、 $j \geq 2$ では延長しても連続で、整数点での値はすべて $P_{j} (0)$ です。具体的には、 $[0, 1]$ で $P_{1} = x - \frac{1}{2}$ から $P_{2} = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{2} + c$ とおくと $\int_{0}^{1} P_{2} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} + c = 0$ より $c = \frac{1}{12}$ 、つまり $P_{2} (x) = \frac{1}{2} (x^{2} - x + \frac{1}{6})$ で $P_{2} (0) = P_{2} (1) = \frac{1}{12} = \frac{B _{2}}{2 !}$ 。次に $P_{3} = \frac{x ^{3}}{6} - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{x}{12} + c^{'}$ とおくと $\int_{0}^{1} P_{3} = \frac{1}{24} - \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + c^{'} = c^{'}$ より $c^{'} = 0$ 、よって $P_{3} (0) = 0$ です。一般に、 $[0, 1]$ 上で $G (x, t) = \frac{t e ^{x t}}{e ^{t} - 1}$ を $t$ のべき級数 $\sum_{j} Q_{j} (x) t^{j}$ に展開すると、 $\partial_{x} G = tG$ から $Q_{j}^{'} = Q_{j - 1}$ 、 $\int_{0}^{1} G d x = \frac{t ( e ^{t} - 1 ) / t}{e ^{t} - 1} = 1$ から $\int_{0}^{1} Q_{j} = 0$ （ $j \geq 1$ ）、 $t^{1}$ の係数から $Q_{1} = x + B_{1} = x - \frac{1}{2}$ がわかるので、上の一意性から $P_{j} = Q_{j}$ です。したがって $P_{j} (0) = Q_{j} (0) = \frac{B _{j}}{j !}$ 。さらに $\frac{t}{e ^{t} - 1} + \frac{t}{2} = \frac{t}{2} \cdot \frac{e ^{t} + 1}{e ^{t} - 1}$ は偶関数（ $t \to - t$ で不変）なので、 $3$ 以上の奇数 $j$ で $B_{j} = 0$ 、つまり $P_{j} (0) = 0$ です。

これを使って部分積分します。区間 $[k, k + 1]$ では $P_{1} = x - k - \frac{1}{2}$ 、 $P_{1}^{'} = 1$ で、端での値は $P_{1} (k + 0) = - \frac{1}{2}$ 、 $P_{1} (k + 1 - 0) = \frac{1}{2}$ なので $\int_{k}^{k + 1} f d x = [P_{1} f]_{k}^{k + 1} - \int_{k}^{k + 1} P_{1} f^{'} d x = \frac{f ( k ) + f ( k + 1 )}{2} - \int_{k}^{k + 1} P_{1} f^{'} d x$ （台形公式とその誤差）です。もう 1 回、 $P_{2}^{'} = P_{1}$ を使って部分積分すると $- \int_{k}^{k + 1} P_{1} f^{'} d x = - [P_{2} f^{'}]_{k}^{k + 1} + \int_{k}^{k + 1} P_{2} f^{''} d x = - \frac{B _{2}}{2 !} (f^{'} (k + 1) - f^{'} (k)) + \int_{k}^{k + 1} P_{2} f^{''} d x$ なので $\int_{k}^{k + 1} f d x = \frac{f ( k ) + f ( k + 1 )}{2} - \frac{B _{2}}{2 !} (f^{'} (k + 1) - f^{'} (k)) + \int_{k}^{k + 1} P_{2} f^{''} d x .$ $k = a, \dots, b - 1$ で足すと、 $\frac{f ( k ) + f ( k + 1 )}{2}$ の和は $\sum_{k = a}^{b} f (k) - \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}$ 、 $f^{'}$ の項は内部の点が打ち消し合って $f^{'} (b) - f^{'} (a)$ だけが残り（ $P_{2}$ が整数点で同じ値をとるおかげです）、移項して $k = a \sum b f (k) = \int_{a}^{b} f d x + \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} + \frac{B _{2}}{2 !} (f^{'} (b) - f^{'} (a)) - \int_{a}^{b} P_{2} f^{''} d x$ となります。これが $m = 1$ の場合で、剰余は $R_{1} = - \int_{a}^{b} P_{2} f^{''} d x$ です。同様に $R_{m} = - \int_{a}^{b} P_{2 m} f^{(2 m)} d x$ をさらに 2 回部分積分すると、 $P_{2 m + 1} (0) = 0$ と $P_{2 m + 2} (0) = \frac{B _{2 m + 2}}{( 2 m + 2 )!}$ より $R_{m} = \int_{a}^{b} P_{2 m + 1} f^{(2 m + 1)} d x = \frac{B _{2 m + 2}}{( 2 m + 2 )!} (f^{(2 m + 1)} (b) - f^{(2 m + 1)} (a)) - \int_{a}^{b} P_{2 m + 2} f^{(2 m + 2)} d x$ となるので（ $f$ が $2 m + 2$ 回連続微分可能なとき）、帰納的に $k = a \sum b f (k) = \int_{a}^{b} f d x + \frac{f ( a ) + f ( b )}{2} + k = 1 \sum m \frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} (f^{(2 k - 1)} (b) - f^{(2 k - 1)} (a)) + R_{m}, R_{m} = - \int_{a}^{b} P_{2 m} (x) f^{(2 m)} (x) d x$ が得られます。 $P_{2 m}$ は連続な周期関数なので有界で、 $∣ R_{m} ∣ \leq M_{2 m} \int_{a}^{b} ∣ f^{(2 m)} ∣ d x$ （ $M_{2 m} = max ∣ P_{2 m} ∣$ ）です。

漸近展開に使うときは、 $a$ を固定し $b = n \to \infty$ とします。 $\int_{a}^{\infty} ∣ f^{(2 m)} ∣ d x < \infty$ なら $R_{m} = - \int_{a}^{\infty} P_{2 m} f^{(2 m)} d x + \int_{n}^{\infty} P_{2 m} f^{(2 m)} d x$ と分けられ、前者は $n$ によらない定数、後者は $O (\int_{n}^{\infty} ∣ f^{(2 m)} ∣ d x)$ です。こうして、 $n$ によらない項はすべて 1 つの定数（ $H_{n}$ ではオイラー定数 $γ$ ）にまとまり、 $n$ を含む項は $f^{(2 k - 1)} (n)$ から順に読み取れます。

手順

$f (x)$ と和の範囲 $a, b$ （ $a$ は固定、 $b = n$ ）を決め、両端を含む $\sum_{k = a}^{n} f (k)$ の形にそろえる
積分 $\int_{a}^{n} f (x) d x$ と端点項 $\frac{f ( a ) + f ( n )}{2}$ を計算する
奇数階導関数 $f^{'} (x), f^{'''} (x), f^{(5)} (x), \dots$ と、剰余の評価に使う偶数階導関数 $f^{(2 m)} (x)$ を必要な次数まで求める
補正項 $\frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} f^{(2 k - 1)} (n)$ を $B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = - \frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}$ を使って計算する（ $\frac{B _{2}}{2 !} = \frac{1}{12}, \frac{B _{4}}{4 !} = - \frac{1}{720}, \frac{B _{6}}{6 !} = \frac{1}{30240}$ ）
$n$ によらない項（ $a$ での値と剰余項の $\int_{a}^{\infty}$ の部分）を 1 つの定数にまとめ、剰余は $O (\int_{n}^{\infty} ∣ f^{(2 m)} ∣ d x)$ と評価する
$n$ のべきごとに係数を整理して読み取る

例題

ある定数 $C$ と $c_{1}, c_{2}$ を用いて $k = 1 \sum n k = \frac{2}{3} n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2} + C + c_{1} n^{- 1/2} + c_{2} n^{- 5/2} + O (n^{- 9/2}) (n \to \infty)$ と表される。組 $(c_{1}, c_{2})$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $f (x) = x^{1/2}$ 、 $a = 1$ 、 $b = n$ とする。 $f$ は $[1, \infty)$ で何回でも連続微分可能である。

【手順 2】 $\int_{1}^{n} x^{1/2} d x = \frac{2}{3} n^{3/2} - \frac{2}{3}$ 、端点項は $\frac{f ( 1 ) + f ( n )}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} n^{1/2}$ 。これで主要な 2 項 $\frac{2}{3} n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2}$ が出る。

【手順 3】 $f^{'} (x) = \frac{1}{2} x^{- 1/2}$ 、 $f^{''} (x) = - \frac{1}{4} x^{- 3/2}$ 、 $f^{'''} (x) = \frac{3}{8} x^{- 5/2}$ 、 $f^{(4)} (x) = - \frac{15}{16} x^{- 7/2}$ 、 $f^{(5)} (x) = \frac{105}{32} x^{- 9/2}$ 、 $f^{(6)} (x) = - \frac{945}{64} x^{- 11/2}$ 。

【手順 4】 $m = 3$ として公式を使う。 $n$ を含む補正項は
- $k = 1$ : $\frac{B _{2}}{2 !} f^{'} (n) = \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{2} n^{- 1/2} = \frac{1}{24} n^{- 1/2}$
- $k = 2$ : $\frac{B _{4}}{4 !} f^{'''} (n) = - \frac{1}{720} \cdot \frac{3}{8} n^{- 5/2} = - \frac{1}{1920} n^{- 5/2}$
- $k = 3$ : $\frac{B _{6}}{6 !} f^{(5)} (n) = \frac{1}{30240} \cdot \frac{105}{32} n^{- 9/2} = O (n^{- 9/2})$

【手順 5】 $\int_{1}^{\infty} ∣ f^{(6)} ∣ d x = \frac{945}{64} \int_{1}^{\infty} x^{- 11/2} d x < \infty$ なので、剰余項 $R_{3}$ は $n$ によらない定数と $O (\int_{n}^{\infty} x^{- 11/2} d x) = O (n^{- 9/2})$ に分かれる。 $- \frac{2}{3} + \frac{1}{2}$ 、 $- \frac{B _{2 k}}{( 2 k )!} f^{(2 k - 1)} (1)$ （ $k = 1, 2, 3$ ）の各項、剰余の定数部分をまとめて $C$ とおく。

【手順 6】以上より $k = 1 \sum n k = \frac{2}{3} n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2} + C + \frac{1}{24} n^{- 1/2} - \frac{1}{1920} n^{- 5/2} + O (n^{- 9/2}) .$ よって $c_{1} = \frac{1}{24}$ 、 $c_{2} = - \frac{1}{1920}$ 。

答え: $(\frac{1}{24}, - \frac{1}{1920})$

よくある誤り

補正項の係数として $B_{2 k}$ をそのまま使い、 $(2 k)!$ で割るのを忘れる誤り。正しくは $\frac{B _{2 k}}{( 2 k )!}$ で、たとえば $k = 1$ の係数は $B_{2} = \frac{1}{6}$ ではなく $\frac{B _{2}}{2 !} = \frac{1}{12}$ 。 $H_{n}$ なら $f^{'} (n) = - n^{- 2}$ より $\frac{1}{12} \cdot (- n^{- 2}) = - \frac{1}{12 n ^{2}}$ となる
ベルヌーイ数の符号を取り違え、 $B_{4} = \frac{1}{30}$ としてしまう誤り。正しくは $B_{2} = \frac{1}{6}, B_{4} = - \frac{1}{30}, B_{6} = \frac{1}{42}$ と符号が交互に変わる。 $H_{n}$ の $n^{- 4}$ の係数は $\frac{B _{4}}{4 !} f^{'''} (n) = - \frac{1}{720} \cdot (- 6 n^{- 4}) = + \frac{1}{120 n ^{4}}$ で、 $- \frac{1}{120 n ^{4}}$ ではない
端点項を片側だけにする、あるいは $\sum_{k = a}^{b - 1}$ と $\sum_{k = a}^{b}$ を混同する誤り。正しくは両端を含む和 $\sum_{k = a}^{b} f (k)$ に対して端点項は $\frac{f ( a ) + f ( b )}{2}$ であり、 $\sum_{k = a}^{b - 1} f (k)$ なら $\frac{f ( a ) - f ( b )}{2}$ になる。たとえば $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ の $\frac{1}{n}$ の係数は $+ \frac{1}{2}$ だが、 $\sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k}$ では $- \frac{1}{2}$
補正項の無限和が収束すると思い込み、定数項を $a$ 側の項の和で求めてしまう誤り。たとえば $γ = \frac{1}{2} + \sum_{k \geq 1} \frac{B _{2 k}}{2 k}$ のような式は右辺が発散するので意味をもたない。正しくは有限個 $m$ で打ち切って剰余 $R_{m}$ を残し、定数項（ $γ$ など）は $lim_{n \to \infty} (H_{n} - lo g n)$ のように別に定まる量として扱う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
正の整数 $n$ に対し
$S_{n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$
とおく。区分求積法により $lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{π}{4}$ である。 $n \to \infty$ のとき、有理数の定数 $a, b$ によって
$S_{n} = \frac{π}{4} + \frac{a}{n} + \frac{b}{n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}})$
と表される。組 $(a, b)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

リーマンゼータ関数の特殊値（大学院数学解析的整数論）