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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル大学院数学特殊関数・漸近解析

正の整数 $n$ に対し
$T_{n} = k = n \sum 2 n \frac{1}{k ^{2}}$
とおく（両端の $k = n$ と $k = 2 n$ の項を含む）。 $n \to \infty$ のとき、有理数の定数 $a, b, c$ によって
$T_{n} = \frac{a}{n} + \frac{b}{n ^{2}} + \frac{c}{n ^{3}} + O (\frac{1}{n ^{4}})$
と表される。組 $(a, b, c)$ をこの順に求めよ。

この問題で使うもの

オイラー・マクローリンの和公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（60 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

和を積分で近似し、その誤差をオイラー・マクローリンの和公式で補正しましょう。両端の項を含む和であることに注意します。

ヒント 2

$\sum_{k = m}^{M} f (k) = \int_{m}^{M} f d x + \frac{f ( m ) + f ( M )}{2} + \frac{1}{12} (f^{'} (M) - f^{'} (m)) - \frac{1}{720} (f^{'''} (M) - f^{'''} (m)) + \dots$ を $f (x) = x^{- 2}$ に使います。

ヒント 3

積分は $\frac{1}{2 n}$ 、端点の項は $\frac{5}{8 n ^{2}}$ です。 $\frac{1}{12} (f^{'} (2 n) - f^{'} (n))$ を計算し、 $f^{'''}$ の項が $O (n^{- 5})$ であることを確かめましょう。

答えと解説

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(\frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{7}{48})

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解説を読む

オイラー・マクローリンの和公式. 滑らかな関数 $f$ と整数 $m < M$ に対し
$k = m \sum M f (k) = \int_{m}^{M} f (x) d x + \frac{f ( m ) + f ( M )}{2} + \frac{B _{2}}{2 !} (f^{'} (M) - f^{'} (m)) + \frac{B _{4}}{4 !} (f^{'''} (M) - f^{'''} (m)) + R$
が成り立つ。ここで $B_{2} = \frac{1}{6}$ , $B_{4} = - \frac{1}{30}$ はベルヌーイ数で、剰余 $R$ は $\int_{m}^{M} ∣ f^{(5)} (x) ∣ d x$ の定数倍で抑えられる。

$f (x) = x^{- 2}$ , $m = n$ , $M = 2 n$ に適用する. $f^{'} (x) = - 2 x^{- 3}$ , $f^{'''} (x) = - 24 x^{- 5}$ , $f^{(5)} (x) = - 720 x^{- 7}$ である。
- 積分: $\int_{n}^{2 n} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2 n}$
- 端点の項: $\frac{1}{2} (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{4 n ^{2}}) = \frac{5}{8 n ^{2}}$
- $B_{2}$ の項: $\frac{1}{12} (- \frac{2}{8 n ^{3}} + \frac{2}{n ^{3}}) = \frac{1}{12} \cdot \frac{7}{4 n ^{3}} = \frac{7}{48 n ^{3}}$
- $B_{4}$ の項: $- \frac{1}{720} (- \frac{24}{32 n ^{5}} + \frac{24}{n ^{5}}) = O (n^{- 5})$
- 剰余: $\int_{n}^{2 n} \frac{720}{x ^{7}} d x = O (n^{- 6})$

したがって
$T_{n} = \frac{1}{2 n} + \frac{5}{8 n ^{2}} + \frac{7}{48 n ^{3}} + O (\frac{1}{n ^{5}})$
で、特に $O (n^{- 4})$ の精度で成り立つ。

数値による確認. $n = 2$ のとき $T_{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} \approx 0.42361$ 。一方 $\frac{1}{4} + \frac{5}{32} + \frac{7}{384} \approx 0.42448$ で、差 $\approx - 0.0009$ は $B_{4}$ の項 $- \frac{1}{720} (24 \cdot \frac{1}{32} - 24 \cdot \frac{1}{1024}) \approx - 0.0010$ とほぼ一致する。

答え: $(a, b, c) = (\frac{1}{2}, \frac{5}{8}, \frac{7}{48})$

別解

$f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ にオイラー・マクローリンの公式を用いる（両端を含む和）:
$k = n \sum 2 n f (k) = \int_{n}^{2 n} f (x) d x + \frac{f ( n ) + f ( 2 n )}{2} + \frac{1}{12} (f^{'} (2 n) - f^{'} (n)) - \frac{1}{720} (f^{'''} (2 n) - f^{'''} (n)) + \dots$

$\int_{n}^{2 n} \frac{d x}{x ^{2}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n} = \frac{1}{2 n}$
$\frac{f ( n ) + f ( 2 n )}{2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n ^{2}} + \frac{1}{4 n ^{2}}) = \frac{5}{8 n ^{2}}$
$f^{'} (x) = - \frac{2}{x ^{3}}$ より $f^{'} (2 n) - f^{'} (n) = - \frac{2}{8 n ^{3}} + \frac{2}{n ^{3}} = \frac{7}{4 n ^{3}}$ 、これに $\frac{1}{12}$ をかけて $\frac{7}{48 n ^{3}}$
$f^{'''} (x) = - 24/ x^{5}$ の項以降は $O (1/ n^{5})$ で、剰余も $O (1/ n^{4})$ に収まる。

よって $T_{n} = \frac{1}{2 n} + \frac{5}{8 n ^{2}} + \frac{7}{48 n ^{3}} + O (n^{- 4})$ 。

検算: $n = 2$ で $T_{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} \approx 0.42361$ 。近似は $0.25 + 0.15625 + 0.01823 = 0.42448$ 、さらに $f^{'''}$ の項 $- \frac{1}{720} (f^{'''} (4) - f^{'''} (2)) \approx - 0.00101$ を加えると $0.42347$ となり、よく一致する。

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