特殊関数・漸近解析の問題

1. 使う公式. オイラー・マクローリンの和公式を $B_2=\frac{1}{6}$ の項まで書くと、$C^3$ 級の $f$ に対して
$$\sum _{k=0}^{n}f(k)={\int }_0^{n}f(x)dx+\frac{f(0)+f(n)}{2}+\frac{B_2}{2!}(f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0))+R_3,|R_3|\le \frac{2\zeta (3)}{(2\pi {)}^3}{\int }_0^n|f^{\prime \prime \prime }(x)|dx$$
が成り立つ。これを $f(x)=\frac{n}{n^2+x^2}$ に使う。

$g(t)=\frac{1}{1+t^2}$ とおくと $f(x)=\frac{1}{n}g\left(\frac{x}{n}\right)$ なので、$f^{(j)}(x)=n^{-1-j}{g}^{(j)}(x/n)$ である。よって $x=nt$ と置換して
$${\int }_0^n|f^{\prime \prime \prime }(x)|dx=n^{-4}{\int }_0^n\left|g^{\prime \prime \prime }\left(\frac{x}{n}\right)\right|dx=n^{-3}{\int }_0^1|g^{\prime \prime \prime }(t)|dt$$
となり、$g^{\prime \prime \prime }$ は $[0,1]$ で連続なので右辺の積分は $n$ によらない有限の値である。したがって $R_3=O(n^{-3})$。

2. 各項を計算する.
- 積分: ${\int }_0^n\frac{n}{n^2+x^2}dx$ で $x=nt$ と置換すると ${\int }_0^1\frac{dt}{1+t^2}=\frac{\pi }{4}$（$t=\tan \theta$ と置換）。
- 端点: $f(0)=\frac{1}{n}$, $f(n)=\frac{n}{2n^2}=\frac{1}{2n}$ より $\frac{f(0)+f(n)}{2}=\frac{3}{4n}$。
- 微分の項: $f^{\prime }(x)=-\frac{2nx}{(n^2+x^2{)}^2}$ より $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(n)=-\frac{2n^2}{4n^4}=-\frac{1}{2n^2}$。よって $\frac{B_2}{2!}(f^{\prime }(n)-f^{\prime }(0))=\frac{1}{12}\cdot \left(-\frac{1}{2n^2}\right)=-\frac{1}{24n^2}$。

3. まとめる. 以上より
$$\sum _{k=0}^n\frac{n}{n^2+k^2}=\frac{\pi }{4}+\frac{3}{4n}-\frac{1}{24n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$
求める和は $k=0$ の項 $f(0)=\frac{1}{n}$ を除いたものだから
$$S_n=\frac{\pi }{4}+\frac{3}{4n}-\frac{1}{n}-\frac{1}{24n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{4n}-\frac{1}{24n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$

（確認: $n=2$ のとき $S_2=\frac{2}{5}+\frac{1}{4}=0.65$、近似式は $\frac{\pi }{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{96}\approx 0.6500$。）

したがって $(a,b)=\left(-\frac{1}{4},-\frac{1}{24}\right)$。

$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$ とおくと $S_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^{n}f(k/n)$。オイラー・マクローリンの公式より
$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}fdx+\frac{f(1)-f(0)}{2n}+\frac{f^{\prime }(1)-f^{\prime }(0)}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)$$
（次の項は $f^{\prime \prime \prime }$ の端点差を含む $1/n^4$ の項）。

${\int }_0^{1}fdx=\pi /4$、$f(1)=1/2,f(0)=1$ なので $a=\frac{1/2-1}{2}=-\frac{1}{4}$。
$f^{\prime }(x)=-\frac{2x}{(1+x^2{)}^2}$ より $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{2},f^{\prime }(0)=0$ なので $b=\frac{-1/2}{12}=-\frac{1}{24}$。

検算: $n=1$ で $S_1=1/2$、近似値 $\pi /4-1/4-1/24\approx 0.4937$ で、差は約 $0.006$ と小さく、残りの $O(1/n^3)$（実際は $1/n^4$）の項として整合する。$n=2$: $S_2=\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4+4}\cdot$ ではなく直接 $\frac{2}{5}+\frac{2}{8}=0.65$、近似値 $0.7854-0.125-0.0104=0.6500$ で一致。