特殊関数・漸近解析の問題

方針. 第 $n$ 項の因子 $n$ を $n!$ と約分し、添字をずらして超幾何級数 ${}_2{F}_1(\cdot ,\cdot ;\cdot ;1)$ に直してからガウスの公式を使う。

1. 超幾何級数への書き換え. $a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3},c=\frac{7}{2}$ とおく。$n\ge 1$ では $\frac{n}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$ である。さらに $(a{)}_n=a(a+1{)}_{n-1}$ が成り立つ（$b,c$ についても同様）。$m=n-1$ とおくと
$$S=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(a{)}_{m+1}(b{)}_{m+1}}{(c{)}_{m+1}m!}=\frac{ab}{c}\sum _{m=0}^{\infty }\frac{(a+1{)}_m(b+1{)}_m}{(c+1{)}_{m}m!}=\frac{ab}{c}{}_2{F}_1\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3};\frac{9}{2};1\right).$$
これは $F(x)={}_2{F}_1(a,b;c;x)$ の導関数の公式 $F^{\prime }(x)=\frac{ab}{c}{}_2{F}_1(a+1,b+1;c+1;x)$ を $x=1$ で使うことと同じである。係数は
$$\frac{ab}{c}=\frac{2/9}{7/2}=\frac{4}{63}.$$

2. ガウスの公式が使えることの確認. ガウスの公式
$${}_2{F}_1(\alpha ,\beta ;\gamma ;1)=\frac{\Gamma (\gamma )\Gamma (\gamma -\alpha -\beta )}{\Gamma (\gamma -\alpha )\Gamma (\gamma -\beta )}$$
は $\mathrm{Re}(\gamma -\alpha -\beta )>0$ のとき成り立つ。ここでは $\alpha =\frac{4}{3},\beta =\frac{5}{3},\gamma =\frac{9}{2}$ で、$\gamma -\alpha -\beta =\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}>0$ だから使える。

3. ガンマ関数の値. 公式から
$${}_2{F}_1\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3};\frac{9}{2};1\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{9}{2}\right)\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{19}{6}\right)\Gamma \left(\frac{17}{6}\right)}.$$

- 分子: $\Gamma \left(\frac{9}{2}\right)=\frac{7}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi }=\frac{105}{16}\sqrt{\pi }$、$\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ より、分子は $\frac{105\pi }{32}$。
- 分母: $\Gamma \left(\frac{19}{6}\right)=\frac{13}{6}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{1}{6}\Gamma \left(\frac{1}{6}\right)$、$\Gamma \left(\frac{17}{6}\right)=\frac{11}{6}\cdot \frac{5}{6}\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)$ である。相反公式より $\Gamma \left(\frac{1}{6}\right)\Gamma \left(\frac{5}{6}\right)=\frac{\pi }{\sin (\pi /6)}=2\pi$。したがって分母は
$$\frac{13\cdot 7\cdot 1\cdot 11\cdot 5}{6^5}\cdot 2\pi =\frac{5005\cdot 2\pi }{7776}=\frac{5005\pi }{3888}.$$

よって
$${}_2{F}_1\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3};\frac{9}{2};1\right)=\frac{105\pi }{32}\cdot \frac{3888}{5005\pi }=\frac{3}{143}\cdot \frac{3888}{32}=\frac{3\cdot 243}{143\cdot 2}=\frac{729}{286}.$$

4. 結論.
$$S=\frac{4}{63}\cdot \frac{729}{286}=\frac{2916}{18018}=\frac{162}{1001}.$$

（数値で確かめると $S\approx 0.1618$ である。）

$a=\frac{1}{3},b=\frac{2}{3},c=\frac{7}{2}$ とおくと、$S={\sum }_{n\ge 1}n\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c{)}_{n}n!}$ である。

$n\frac{1}{n!}=\frac{1}{(n-1)!}$ であり、$(a{)}_n=a(a+1{)}_{n-1}$ などが成り立つので、
$$S=\frac{ab}{c}\sum _{m\ge 0}\frac{(a+1{)}_m(b+1{)}_m}{(c+1{)}_{m}m!}=\frac{ab}{c}{}_2{F}_1(a+1,b+1;c+1;1).$$

$c+1-(a+1)-(b+1)=c-a-b-1=\frac{3}{2}>0$ なので、ガウスの定理が使える。
$${}_2{F}_1(a+1,b+1;c+1;1)=\frac{\Gamma (c+1)\Gamma (c-a-b-1)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}=\frac{\Gamma (9/2)\Gamma (3/2)}{\Gamma (19/6)\Gamma (17/6)}.$$

分子は $\Gamma (9/2)=\frac{105}{16}\sqrt{\pi },\Gamma (3/2)=\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ より $\frac{105\pi }{32}$ である。

分母は次のように計算する。
$\Gamma (19/6)=\frac{13}{6}\cdot \frac{7}{6}\cdot \frac{1}{6}\Gamma (1/6)$、$\Gamma (17/6)=\frac{11}{6}\cdot \frac{5}{6}\Gamma (5/6)$ である。
$\Gamma (1/6)\Gamma (5/6)=\pi /\sin (\pi /6)=2\pi$ を使うと、分母は $\frac{91}{216}\cdot \frac{55}{36}\cdot 2\pi =\frac{5005\pi }{3888}$ となる。

したがって比は
$$\frac{105\cdot 3888}{32\cdot 5005}=\frac{729}{286}.$$

$\frac{ab}{c}=\frac{2/9}{7/2}=\frac{4}{63}$ なので、
$$S=\frac{4}{63}\cdot \frac{729}{286}=\frac{162}{1001}.$$

検算として、$n=1$ の項は $\frac{4}{63}\approx 0.0635$、$n=2$ の項は約 $0.0313$ であり、部分和が約 $0.16$ に向かうことと整合する。