ガンマ関数の相反公式と倍数公式

相反公式 $Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{s i n π s}$ と倍数公式 $Γ (s) Γ (s + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 s} π Γ (2 s)$ を使って、 $Γ (\frac{1}{4}) Γ (\frac{3}{4})$ や $Γ (\frac{3}{2})$ などの値・積を求められる

前提

ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
分岐をもつ関数の積分（鍵穴型の積分路）（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

ガンマ関数には、 $s$ と $1 - s$ での値を結ぶ相反公式 $Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{s i n π s}$ （ $s$ は整数でない）と、 $s$ と $s + \frac{1}{2}$ での値を $2 s$ での値に結ぶ倍数公式 $Γ (s) Γ (s + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 s} π Γ (2 s)$ があります。これらを使うと、単独では初等的に表せない $Γ (\frac{1}{4})$ や $Γ (\frac{1}{3})$ を含む積や比を $π$ や根号で表したり、 $Γ (\frac{1}{2}) = π$ から $Γ (\frac{3}{2})$ , $Γ (- \frac{1}{2})$ などの値を求めたりできます。ベータ関数で表された積分の値を簡単にする場面でよく使います。以下では $s$ は実数とします。

なぜそうしてよいのか

相反公式はベータ関数と鍵穴型の積分から出ます。 $0 < s < 1$ のとき、ベータ関数を $B (a, b) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{a - 1}}{( 1 + x ) ^{a + b}} d x$ の形（ $t = \frac{x}{1 + x}$ の置換で $\int_{0}^{1} t^{a - 1} (1 - t)^{b - 1} d t$ と同じ）で書くと、 $Γ (s) Γ (1 - s) = Γ (1) B (s, 1 - s) = \int_{0}^{\infty} \frac{x ^{s - 1}}{1 + x} d x =: I$ です。 $z^{s - 1}$ の分枝を正の実軸に切れ目をとり偏角を $0 < ar g z < 2 π$ で定めて、 $\frac{z ^{s - 1}}{1 + z}$ を鍵穴型の積分路で積分します。 $0 < s < 1$ なので小さい円と大きい円の寄与は $0$ に近づき、切れ目の上側では $x^{s - 1}$ 、下側では $x^{s - 1} e^{2 π i (s - 1)} = x^{s - 1} e^{2 π i s}$ を逆向きに積分するので、積分路全体の積分は $(1 - e^{2 π i s}) I$ です。内部の極は $z = - 1 = e^{π i}$ だけで、留数は $e^{π i (s - 1)} = - e^{π i s}$ なので、留数定理より
$(1 - e^{2 π i s}) I = - 2 π i e^{π i s} .$
ここで $1 - e^{2 π i s} = e^{π i s} (e^{- π i s} - e^{π i s}) = - e^{π i s} \cdot 2 i sin π s$ だから $- 2 i e^{π i s} sin π s \cdot I = - 2 π i e^{π i s}$ 、両辺を $- 2 i e^{π i s} sin π s (\neq = 0)$ で割って $I = \frac{π}{s i n π s}$ となります。

整数でない負の $s$ では、 $Γ (s) = \frac{Γ ( s + 1 )}{s}$ によって（引数が正になるまで繰り返して） $Γ$ の定義を広げます。こうすると漸化式 $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ は整数でないすべての $s$ で成り立ち、特に $Γ (- s) = \frac{Γ ( 1 - s )}{- s}$ です。 $f (s) = Γ (s) Γ (1 - s) sin π s$ とおくと $Γ (s + 1) Γ (- s) = s Γ (s) \cdot \frac{Γ ( 1 - s )}{- s} = - Γ (s) Γ (1 - s)$ 、 $sin π (s + 1) = - sin π s$ より $f (s + 1) = f (s)$ です。 $0 < s < 1$ で $f (s) = π$ だから、 $1$ ずつずらして整数でないすべての実数 $s$ で $f (s) = π$ 、つまり相反公式が成り立ちます。 $s = \frac{1}{2}$ とおくと $Γ (\frac{1}{2})^{2} = π$ で、 $Γ (\frac{1}{2}) = \int_{0}^{\infty} x^{- 1/2} e^{- x} d x > 0$ より $Γ (\frac{1}{2}) = π$ です。

倍数公式は $B (s, s)$ を 2 通りに計算して出します（ $s > 0$ ）。被積分関数 $(t (1 - t))^{s - 1}$ は $t = \frac{1}{2}$ について対称なので $B (s, s) = 2 \int_{0}^{1/2} (t (1 - t))^{s - 1} d t$ 。 $w = 4 t (1 - t)$ と置換すると $t : 0 \to \frac{1}{2}$ で $w : 0 \to 1$ 、 $d w = 4 (1 - 2 t) d t$ 、 $1 - 2 t = 1 - w$ なので
$B (s, s) = 2 \int_{0}^{1} (\frac{w}{4})^{s - 1} \frac{d w}{4 1 - w} = 2^{1 - 2 s} \int_{0}^{1} w^{s - 1} (1 - w)^{- 1/2} d w = 2^{1 - 2 s} B (s, \frac{1}{2}) .$
両辺をガンマ関数で書くと $\frac{Γ ( s ) ^{2}}{Γ ( 2 s )} = 2^{1 - 2 s} \frac{Γ ( s ) π}{Γ ( s + \frac{1}{2} )}$ で、整理すると倍数公式になります。負の $s$ へ広げるには、 $g (s) = \frac{Γ ( s ) Γ ( s + \frac{1}{2} )}{2 ^{1 - 2 s} Γ ( 2 s )}$ とおくと、漸化式から $g (s + 1) = \frac{s ( s + \frac{1}{2} )}{2 ^{- 2} ( 2 s + 1 ) ( 2 s )} g (s) = g (s)$ となるので、 $s > 0$ での $g (s) = π$ が $2 s$ が $0$ 以下の整数でないすべての実数 $s$ に移ります。

手順

求めたい積・値に現れるガンマ関数の引数を見て、和が $1$ になる組 $(s, 1 - s)$ か、差が $\frac{1}{2}$ の組 $(s, s + \frac{1}{2})$ があるかを探す（必要なら $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ で引数をずらして組を作る）
和が $1$ の組には相反公式を使う: $Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{s i n π s}$ （ $s$ が整数でないことを確認する）
差が $\frac{1}{2}$ の組には倍数公式を使う: $Γ (s) Γ (s + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 s} π Γ (2 s)$ （ $2 s$ が $0$ 以下の整数でないことを確認する）
$Γ (\frac{1}{2}) = π$ 、 $Γ (1) = 1$ 、 $Γ (n) = (n - 1)!$ などの既知の値を代入する
三角関数の値や根号を整理して答える（分母の有理化など）

例題

$Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{2}{3})$ の値を求めよ。

例題の解答

この例題では差が $\frac{1}{2}$ の組も既知のガンマ関数の値も現れないので、手順 3 と手順 4 は使いません。

手順 1（組を探す）: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ なので、 $s = \frac{1}{3}$ として和が $1$ の組になっている。

手順 2（相反公式）: $s = \frac{1}{3}$ は整数でないので
$Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{2}{3}) = \frac{π}{sin \frac{π}{3}} .$

手順 5（整理）: $sin \frac{π}{3} = \frac{3}{2}$ より
$\frac{π}{3 /2} = \frac{2 π}{3} = \frac{2 3 π}{3} .$

答え: $\frac{2 3 π}{3}$

よくある誤り

$Γ (\frac{1}{2}) = π$ としてしまう誤り。相反公式で $s = \frac{1}{2}$ とすると $Γ (\frac{1}{2})^{2} = \frac{π}{s i n \frac{π}{2}} = π$ なので、正しくは $Γ (\frac{1}{2}) = π$ 。したがって $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{π}{2}$ 。
倍数公式の 2 のべきを $2^{2 s - 1}$ としてしまう誤り。 $s = 1$ で確かめると、左辺は $Γ (1) Γ (\frac{3}{2}) = \frac{π}{2}$ で、 $2^{1 - 2 s} π Γ (2) = \frac{π}{2}$ とは一致するが、 $2^{2 s - 1} π Γ (2) = 2 π$ とは一致しない。正しくは $2^{1 - 2 s}$ （ $s = \frac{1}{2}$ では両者とも $1$ になるので確認には使えない）。
和が $1$ でない組に相反公式を使ってしまう誤り。例えば $Γ (\frac{1}{4}) Γ (\frac{3}{4}) = \frac{π}{s i n \frac{π}{4}} = 2 π$ は正しいが、 $Γ (\frac{1}{4}) Γ (\frac{5}{4})$ を $\frac{π}{s i n \frac{π}{4}}$ とするのは誤り。正しくは $Γ (\frac{5}{4}) = \frac{1}{4} Γ (\frac{1}{4})$ なので $Γ (\frac{1}{4}) Γ (\frac{5}{4}) = \frac{1}{4} Γ (\frac{1}{4})^{2}$ で、相反公式では簡単にならない。
負の引数で符号を落とす誤り。相反公式で $s = - \frac{1}{2}$ とすると $Γ (- \frac{1}{2}) Γ (\frac{3}{2}) = \frac{π}{s i n ( - \frac{π}{2} )} = - π$ なので、 $Γ (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{π /2} = - 2 π$ （ $2 π$ ではない。定義 $Γ (- \frac{1}{2}) = \frac{Γ ( \frac{1}{2} )}{- \frac{1}{2}} = - 2 π$ とも一致する）。また $s$ が整数のときは $Γ (1 - s)$ または $Γ (s)$ が定義されず（ $0$ 以下の整数で $Γ$ は定義されない）、 $sin π s = 0$ なので公式は使えない。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$s > 0$ に対してガンマ関数を
$Γ (s) = \int_{0}^{\infty} x^{s - 1} e^{- x} d x$
で定める。積 $Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{5}{3})$ の値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ベータ関数に帰着する広義積分（大学院数学特殊関数・漸近解析）