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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学特殊関数・漸近解析

無限級数
$S = n = 0 \sum \infty \frac{( 3 n )!}{2 7 ^{n} ( n ! ) ^{2} ( n + 1 )!}$
は収束する。 $S$ の値を求めよ。ただし $0! = 1$ とする。

この問題で使うもの

ポッホハマー記号と超幾何級数への書き直し（説明と入口の問題）
ガウスの超幾何定理（説明と入口の問題）
ガンマ関数の相反公式と倍数公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（101 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

級数の項をポッホハマー記号で書き直し、ガウスの超幾何級数 $_{2} F_{1} (a, b; c; 1)$ の形にする。

ヒント 2

$(3 n)! = 2 7^{n} (1/3)_{n} (2/3)_{n} n!$ 、 $(n + 1)! = (2)_{n}$ が成り立つ。

ヒント 3

$S =_{2} F_{1} (1/3, 2/3; 2; 1) = \frac{Γ ( 2 ) Γ ( 1 )}{Γ ( 5/3 ) Γ ( 4/3 )}$ 。あとは $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ と相補公式を使う。

答えと解説

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\frac{9 3}{4 π}

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解説を読む

ポッホハマー記号を $(α)_{0} = 1, (α)_{n} = α (α + 1) \dots (α + n - 1)$ とし、ガウスの超幾何関数を
$_{2} F_{1} (a, b; c; z) = n = 0 \sum \infty \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$
とする。

項の書き換え.
$(3 n)! = k = 0 \prod n - 1 (3 k + 1) (3 k + 2) (3 k + 3) = 2 7^{n} k = 0 \prod n - 1 (k + \frac{1}{3}) (k + \frac{2}{3}) (k + 1) = 2 7^{n} (\frac{1}{3})_{n} (\frac{2}{3})_{n} n!$
であり、 $(n + 1)! = (2)_{n}$ である。よって
$\frac{( 3 n )!}{2 7 ^{n} ( n ! ) ^{2} ( n + 1 )!} = \frac{( 1/3 ) _{n} ( 2/3 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !}$
となり、
$S =_{2} F_{1} (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}; 2; 1) .$

ガウスの公式. $c - a - b = 2 - \frac{1}{3} - \frac{2}{3} = 1 > 0$ なので $z = 1$ で級数は収束し、ガウスの公式
$_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ ( c ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a ) Γ ( c - b )}$
が使える。したがって
$S = \frac{Γ ( 2 ) Γ ( 1 )}{Γ ( 5/3 ) Γ ( 4/3 )} .$
$Γ (s + 1) = s Γ (s)$ より $Γ (5/3) = \frac{2}{3} Γ (2/3)$ 、 $Γ (4/3) = \frac{1}{3} Γ (1/3)$ 。相補公式 $Γ (s) Γ (1 - s) = \frac{π}{sin π s}$ より
$Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{2}{3}) = \frac{π}{sin ( π /3 )} = \frac{2 π}{3} .$
よって
$Γ (5/3) Γ (4/3) = \frac{2}{9} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{9 3}, S = \frac{9 3}{4 π} .$

（数値確認: $S \approx 1.2405$ 。部分和は $1 + 0.1111 + 0.0412 + 0.0213 + 0.0130 + \dots$ で、項は $n^{- 2}$ 程度で減少するので矛盾しない。）

別解

$(3 n)! = 2 7^{n} n! (1/3)_{n} (2/3)_{n} \cdot n! / n!$ ではなく、正しくは $\frac{( 3 n )!}{( n ! ) ^{3}} = 2 7^{n} \frac{( 1/3 ) _{n} ( 2/3 ) _{n}}{( n ! ) ^{2}}$ （ガウスの乗法公式による）。また $(n!)^{2} (n + 1)! = (n!)^{3} (n + 1)$ 、 $(2)_{n} = (n + 1)!$ なので
$\frac{( 3 n )!}{2 7 ^{n} ( n ! ) ^{2} ( n + 1 )!} = \frac{( 1/3 ) _{n} ( 2/3 ) _{n}}{n ! ( 2 ) _{n}}$ 。
よって $S =_{2} F_{1} (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}; 2; 1)$ 。 $c - a - b = 2 - 1 = 1 > 0$ でガウスの定理が使え、
$S = \frac{Γ ( 2 ) Γ ( 1 )}{Γ ( 5/3 ) Γ ( 4/3 )}$ 。 $Γ (5/3) = \frac{2}{3} Γ (\frac{2}{3})$ 、 $Γ (4/3) = \frac{1}{3} Γ (\frac{1}{3})$ より分母は $\frac{2}{9} Γ (\frac{1}{3}) Γ (\frac{2}{3}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{π}{sin ( π /3 )} = \frac{2}{9} \cdot \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{9 3}$ 。
$S = \frac{9 3}{4 π} \approx 1.2405$ 。
検算: 項は $n = 0$ : $1$ 、 $n = 1$ : $\frac{6}{27 \cdot 2} = 0.1111$ 、 $n = 2$ : $\frac{720}{729 \cdot 4 \cdot 6} = 0.0412$ 、 $n = 3$ : $0.0213$ で、以降は $n^{- 2}$ 程度で減少し、部分和 $1.175$ に裾の和 $\approx 0.065$ が加わって $1.24$ 付近になり整合する。

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