ガウスの超幾何定理

$Re (c - a - b) > 0$ のとき $_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ ( c ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a ) Γ ( c - b )}$ を（オイラーの積分表示から）使い、 $\sum_{n} \frac{1}{1 6 ^{n} ( n + 1 ) ( n + 2 )} (n 2 n)^{2}$ のような級数の値を求められる

前提

ポッホハマー記号と超幾何級数への書き直し（大学院数学特殊関数・漸近解析）
級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）

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算数中学高校大学大学院

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級数の項別積分（大学院数学測度論・実解析）

説明

超幾何級数 $_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{n \geq 0} \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ の $z = 1$ での値は、 $Re (c - a - b) > 0$ のとき
$_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ ( c ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a ) Γ ( c - b )}$
とガンマ関数の値だけで書けます（ガウスの超幾何定理）。中心二項係数や階乗の比を含む無限級数を $_{2} F_{1} (\dots; 1)$ に書き直せれば、この公式でその和を閉じた形で求められます。

なぜそうしてよいのか

まずオイラーの積分表示を導きます。実数 $c > b > 0$ とし、 $∣ z ∣ < 1$ で $(1 - z t)^{- a} = \sum_{n \geq 0} \frac{( a ) _{n}}{n !} z^{n} t^{n}$ （ $0 \leq t \leq 1$ ）を使います。これに $t^{b - 1} (1 - t)^{c - b - 1}$ を掛けて $[0, 1]$ で項別積分すると（ $\sum_{n} \frac{∣ ( a ) _{n} ∣}{n !} ∣ z ∣^{n} \int_{0}^{1} t^{b + n - 1} (1 - t)^{c - b - 1} d t < \infty$ なので優収束定理で交換できる）、ベータ関数 $B (b + n, c - b) = \frac{Γ ( b + n ) Γ ( c - b )}{Γ ( c + n )}$ が現れ、
$\frac{Γ ( c )}{Γ ( b ) Γ ( c - b )} \int_{0}^{1} t^{b - 1} (1 - t)^{c - b - 1} (1 - z t)^{- a} d t = n \geq 0 \sum \frac{( a ) _{n}}{n !} \cdot \frac{Γ ( c ) Γ ( b + n )}{Γ ( b ) Γ ( c + n )} z^{n} =_{2} F_{1} (a, b; c; z)$
となります（ $\frac{Γ ( b + n )}{Γ ( b )} = (b)_{n}$ , $\frac{Γ ( c + n )}{Γ ( c )} = (c)_{n}$ ）。

次に $z = 1$ を考えます。 $a \geq 0$ のときは各項が非負なので、 $z = 1$ で直接 $(1 - t)^{- a} = \sum \frac{( a ) _{n}}{n !} t^{n}$ （ $0 \leq t < 1$ ）を代入して単調収束定理で項別積分できます。すると被積分関数は $t^{b - 1} (1 - t)^{c - a - b - 1}$ にまとまり、これは $c - a - b > 0$ のとき積分可能で、値は $B (b, c - a - b) = \frac{Γ ( b ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a )}$ です。前の係数 $\frac{Γ ( c )}{Γ ( b ) Γ ( c - b )}$ を掛けると $Γ (b)$ が消え、ガウスの公式が出ます。

つまり「 $z = 1$ では $(1 - z t)^{- a}$ が $(1 - t)$ のべきと合体して、全体が 1 つのベータ積分になる」ことが本質です。条件 $c - a - b > 0$ は、 $t = 1$ 付近での積分 $\int (1 - t)^{c - a - b - 1} d t$ が収束する条件そのものです。ここでは実数パラメータで導きましたが、公式は $Re (c - a - b) > 0$ （かつ $c$ が $0, - 1, - 2, \dots$ でない）の複素パラメータでも成り立つことが知られています。

手順

与えられた級数の一般項を、ポッホハマー記号を使って $\frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !}$ の形（定数倍も可）に書き直し、 $z = 1$ であることを確かめる。
パラメータ $(a, b, c)$ を読み取り、収束条件 $Re (c - a - b) > 0$ を確認する。
$_{2} F_{1} (a, b; c; 1) = \frac{Γ ( c ) Γ ( c - a - b )}{Γ ( c - a ) Γ ( c - b )}$ に代入する。
$Γ (n + 1) = n!$ , $Γ (\frac{1}{2}) = π$ , $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ を使って値を計算し、最初に括り出した定数倍を掛ける。

例題

級数 $n = 0 \sum \infty \frac{1}{1 6 ^{n} ( n + 1 )} (n 2 n)^{2}$ の値を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ より $\frac{1}{1 6 ^{n}} (n 2 n)^{2} = \frac{( 1/2 ) _{n}^{2}}{( n ! ) ^{2}}$ 。また $(2)_{n} = 2 \cdot 3 \dots (n + 1) = (n + 1)!$ なので $\frac{1}{n + 1} = \frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{n !}{( 2 ) _{n}}$ 。よって一般項は
$\frac{( 1/2 ) _{n}^{2}}{( n ! ) ^{2}} \cdot \frac{n !}{( 2 ) _{n}} = \frac{( 1/2 ) _{n} ( 1/2 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !} \cdot 1^{n}$
で、級数は $_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 2; 1)$ に等しい。

【手順 2】 $a = b = \frac{1}{2}$ , $c = 2$ で、 $c - a - b = 1 > 0$ なので公式が使える。

【手順 3】
$_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 2; 1) = \frac{Γ ( 2 ) Γ ( 1 )}{Γ ( \frac{3}{2} ) Γ ( \frac{3}{2} )} .$

【手順 4】 $Γ (2) = Γ (1) = 1$ , $Γ (\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} Γ (\frac{1}{2}) = \frac{π}{2}$ より、値は $\frac{1}{π /4} = \frac{4}{π}$ 。

答え: $\frac{4}{π}$

よくある誤り

収束条件を確かめずに公式を使ってしまう誤り。たとえば $\sum_{n} \frac{1}{1 6 ^{n}} (n 2 n)^{2} =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; 1)$ に公式を当てはめると $\frac{Γ ( 1 ) Γ ( 0 )}{Γ ( \frac{1}{2} ) ^{2}}$ となって意味をなさない。正しくは $c - a - b = 0$ なので公式は使えず、この級数は発散する（一般項はおよそ $\frac{1}{π n}$ ）。
分母のガンマ関数を $Γ (a) Γ (b)$ としてしまう誤り。正しくは $Γ (c - a) Γ (c - b)$ で、例題なら分母は $Γ (\frac{3}{2})^{2} = \frac{π}{4}$ （ $Γ (\frac{1}{2})^{2} = π$ ではない）。
$\frac{1}{n + 1}$ を $\frac{1}{( 2 ) _{n}}$ と書き直してしまう誤り。 $(2)_{n} = (n + 1)!$ なので正しくは $\frac{1}{n + 1} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}} = \frac{n !}{( 2 ) _{n}}$ で、 $n!$ が分子に 1 つ残ることで $_{2} F_{1}$ の形の $\frac{1}{n !}$ と釣り合う。
級数の和の範囲がずれているのに定数倍や初項の補正を忘れる誤り。たとえば $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{1 6 ^{n} ( n + 1 )} (n 2 n)^{2}$ なら $n = 0$ の項 $1$ を引いて $\frac{4}{π} - 1$ が正しい。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
無限級数
$S = n = 0 \sum \infty \frac{1}{4 ^{n} ( 2 n + 3 )} (n 2 n)$
は収束する。ガウスの超幾何定理を用いて $S$ の値を求めよ。ただし $(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}}$ 、 $0! = 1$ とする。

ガウスの超幾何定理

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題