ポッホハマー記号と超幾何級数への書き直し

$(a)_{n} = \frac{Γ ( a + n )}{Γ ( a )}$ や $(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ , $(3 n)! = 2 7^{n} n! (1/3)_{n} (2/3)_{n}$ を使い、項比 $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ を調べて、与えられた級数を $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ の形に書き直し、パラメータ $(a, b, c, z)$ を求められる

前提

ガンマ関数・ベータ関数とガンマ分布（大学数学確率・統計）
べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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べき級数と収束半径（大学数学微分積分）

説明

二項係数や階乗の比を係数にもつべき級数の多くは、ガウスの超幾何級数 $_{2} F_{1} (a, b; c; z) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ という一つの型にまとめられます。この技能では、ポッホハマー記号 $(a)_{n}$ を使って係数を書き直し、隣り合う項の比 $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ を調べることで、与えられた級数のパラメータ $(a, b, c, z)$ を読み取れるようになります。級数を既知の型に帰着させて、収束や和の公式・変換公式を使う準備として、級数の計算・特殊関数・組合せ論などで広く使います。

なぜそうしてよいのか

ポッホハマー記号（上昇階乗）を $(a)_{0} = 1$ , $(a)_{n} = a (a + 1) (a + 2) \dots (a + n - 1)$ $(n \geq 1)$ で定めます。 $a$ が $0, - 1, - 2, \dots$ でなければ、ガンマ関数の漸化式 $Γ (s + 1) = s Γ (s)$ を $n$ 回使って $Γ (a + n) = (a + n - 1) \dots (a + 1) a Γ (a)$ 、すなわち $(a)_{n} = \frac{Γ ( a + n )}{Γ ( a )}$ が成り立ちます。特に $(1)_{n} = n!$ です。また定義から $(a)_{n + 1} = (a)_{n} (a + n)$ なので、 $(a)_{n}$ は「隣どうしの比が $n + a$ 」という性質で特徴づけられます。

階乗も同じ形に直せます。 $(2 n)!$ の因数を偶数と奇数に分けると、偶数部分は $2 \cdot 4 \dots (2 n) = 2^{n} n!$ 、奇数部分は $1 \cdot 3 \dots (2 n - 1) = 2^{n} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \dots \frac{2 n - 1}{2} = 2^{n} (1/2)_{n}$ なので $(2 n)! = 4^{n} n! (1/2)_{n}$ 、よって $(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ です。同様に $(3 n)!$ の因数を $3$ で割った余りで 3 組に分けると $3^{n} n!$ , $3^{n} (1/3)_{n}$ , $3^{n} (2/3)_{n}$ となり、 $(3 n)! = 2 7^{n} n! (1/3)_{n} (2/3)_{n}$ が得られます。

さて $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ の第 $n$ 項を $t_{n} = \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ とすると、上の性質から
$\frac{t _{n + 1}}{t _{n}} = \frac{( n + a ) ( n + b )}{( n + c ) ( n + 1 )} z, t_{0} = 1$
です。逆に、 $c_{0} = 1$ で項比がこの形の数列は、 $t_{0} = 1$ と項比から全項が順に決まるので $c_{n} = t_{n}$ となります。したがって、項比を「 $n$ の係数が 1 の 1 次式」の積の比に整理し、分母に $(n + 1)$ が現れるように調整すれば、パラメータがそのまま読み取れます（ $c$ は $0, - 1, - 2, \dots$ ではないとします。そうでないと $(c)_{n} = 0$ となる項が出て定義できません）。

手順

級数を $\sum_{n \geq 0} c_{n}$ の形に書き、 $c_{0}$ を求める。 $c_{0} \neq = 1$ なら全体を $c_{0}$ でくくり出して、初項が $1$ の級数にする
項比 $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ を計算し、 $n$ の有理式として約分する（ $(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ などで係数を先にポッホハマー記号に直してから比をとってもよい）
分子・分母の各 1 次式を $p n + q = p (n + \frac{q}{p})$ と、 $n$ の係数が 1 になるように変形し、出てきた定数 $p$ はすべて $z$ の側にまとめる
分母に因子 $(n + 1)$ がなければ分子・分母に $(n + 1)$ を掛ける（係数に $\frac{( 1 ) _{n}}{n !}$ を掛けることにあたる）。分子に因子が 1 つしかなければ $(n + 1)$ を掛けたことで分子にも $(n + 1)$ ができ、 $a$ または $b$ が $1$ になる
$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( n + a ) ( n + b )}{( n + c ) ( n + 1 )} z$ と見比べて $(a, b, c, z)$ を読み取り、 $\sum c_{n} = c_{0}_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ と書く

例題

級数 $S = n = 0 \sum \infty \frac{( 2 n )!}{n ! ( n + 1 )!} \cdot \frac{1}{8 ^{n}}$ を $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ （ただし $a \leq b$ ）の形に書き直すとき、組 $(a, b, c, z)$ を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $c_{n} = \frac{( 2 n )!}{n ! ( n + 1 )!} \cdot 8^{- n}$ とおく。 $c_{0} = \frac{0 !}{0 ! 1 !} \cdot 1 = 1$ なので、くくり出す定数はない。

【手順 2】項比を計算する。 $(2 n + 2)! = (2 n + 2) (2 n + 1) (2 n)!$ , $(n + 1)! = (n + 1) n!$ , $(n + 2)! = (n + 2) (n + 1)!$ より
$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2 ( 2 n + 1 )}{8 ( n + 2 )} = \frac{2 n + 1}{4 ( n + 2 )} .$

【手順 3】 $n$ の係数を 1 にする。 $2 n + 1 = 2 (n + \frac{1}{2})$ なので
$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{n + \frac{1}{2}}{n + 2} \cdot \frac{1}{2} .$

【手順 4】分母に $(n + 1)$ がないので、分子・分母に $(n + 1)$ を掛ける:
$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( n + \frac{1}{2} ) ( n + 1 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} \cdot \frac{1}{2} .$

【手順 5】 $\frac{( n + a ) ( n + b )}{( n + c ) ( n + 1 )} z$ と見比べると、 $a \leq b$ として $a = \frac{1}{2}$ , $b = 1$ , $c = 2$ , $z = \frac{1}{2}$ 。 $c = 2$ は $0$ 以下の整数ではない。よって $S =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, 1; 2; \frac{1}{2})$ 。

（確認: $(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ と $\frac{1}{n + 1} = \frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}}$ を使うと $c_{n} = \frac{( 1/2 ) _{n} ( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !} (\frac{4}{8})^{n}$ となり、同じ結果が得られる。）

答え: $(\frac{1}{2}, 1, 2, \frac{1}{2})$

よくある誤り

$\sum \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n}} z^{n}$ をそのまま $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ としてしまう誤り。 $_{2} F_{1}$ の項には $\frac{1}{n !}$ が入っているので、正しくは $\sum \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n}} z^{n} = \sum \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n} ( 1 ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ であり、これは $_{2} F_{1}$ ではなくパラメータが 1 つ多い級数になる（項比の分母に $(n + 1)$ がない状態で読み取ってはいけない）
項比の 1 次式の $n$ の係数を 1 にせずに読み取ってしまう誤り。例えば $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( 2 n + 1 ) ( n + 1 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} \cdot \frac{1}{8}$ から $a = 1$ , $z = \frac{1}{8}$ とするのは誤りで、正しくは $2 n + 1 = 2 (n + \frac{1}{2})$ と直して $a = \frac{1}{2}$ , $z = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ とする
初項 $c_{0}$ が $1$ でないのを見落とす誤り。例えば $\sum_{n \geq 0} \frac{z ^{n}}{n + 2}$ では $c_{0} = \frac{1}{2}$ 、項比は $\frac{( n + 2 ) ( n + 1 )}{( n + 3 ) ( n + 1 )} z$ なので、正しくは $\sum \frac{z ^{n}}{n + 2} = \frac{1}{2}_{2} F_{1} (1, 2; 3; z)$ であって $_{2} F_{1} (1, 2; 3; z)$ そのものではない
ポッホハマー記号を下降階乗やべき乗と取り違える誤り。 $(a)_{n}$ は $a (a - 1) \dots (a - n + 1)$ や $a^{n}$ ではなく、正しくは $(a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1) = \frac{Γ ( a + n )}{Γ ( a )}$ 。例えば $(1/2)_{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ である

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
$0$ 以上の整数 $n$ と実数 $a$ に対し、ポッホハマー記号を $(a)_{0} = 1, (a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1) (n \geq 1)$ で定め、ガウスの超幾何級数を
$_{2} F_{1} (a, b; c; z) = n = 0 \sum \infty \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$
で定める（ $c$ は $0$ 以下の整数でないとする）。無限級数
$S = n = 0 \sum \infty \frac{1}{( n + 1 ) 8 ^{n}} (n 2 n)$
は収束し、 $S =_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ と、項ごとに一致する形に書き直せる。ただし $a \leq b$ とする。このときの組 $(a, b, c, z)$ を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ガウスの超幾何定理（大学院数学特殊関数・漸近解析）