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特殊関数・漸近解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学特殊関数・漸近解析

$0$ 以上の整数 $n$ と実数 $a$ に対し、ポッホハマー記号を $(a)_{0} = 1, (a)_{n} = a (a + 1) \dots (a + n - 1) (n \geq 1)$ で定め、ガウスの超幾何級数を
$_{2} F_{1} (a, b; c; z) = n = 0 \sum \infty \frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$
で定める（ $c$ は $0$ 以下の整数でないとする）。無限級数
$S = n = 0 \sum \infty \frac{1}{( n + 1 ) 8 ^{n}} (n 2 n)$
は収束し、 $S =_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ と、項ごとに一致する形に書き直せる。ただし $a \leq b$ とする。このときの組 $(a, b, c, z)$ を求めよ。

この問題で使うもの

ポッホハマー記号と超幾何級数への書き直し（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（78 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ポッホハマー記号で二項係数と $\frac{1}{n + 1}$ を書き直し、第 $n$ 項を $\frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ の形にする技能を使う。項比 $\frac{c _{n + 1}}{c _{n}}$ を調べてもよい。

ヒント 2

$(n 2 n) = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ と $\frac{1}{n + 1} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}}$ を使う。

ヒント 3

第 $n$ 項は $\frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}} \cdot \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !} \cdot \frac{1}{8 ^{n}}$ となる。 $4^{n} / 8^{n}$ をまとめて $z$ を読み取る。

答えと解説

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(\frac{1}{2}, 1, 2, \frac{1}{2})

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解説を読む

第 $n$ 項を $c_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) 8 ^{n}} (n 2 n)$ とおき、これを $\frac{( a ) _{n} ( b ) _{n}}{( c ) _{n} n !} z^{n}$ の形に直す。

中心二項係数の書き直し.
$(2 n)! = (2 \cdot 4 \dots (2 n)) (1 \cdot 3 \dots (2 n - 1)) = 2^{n} n! \cdot 2^{n} (\frac{1}{2}) (\frac{3}{2}) \dots (\frac{2 n - 1}{2}) = 4^{n} n! (\frac{1}{2})_{n}$
なので
$(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}} = \frac{4 ^{n} ( \frac{1}{2} ) _{n}}{n !} .$

$\frac{1}{n + 1}$ の書き直し. $(1)_{n} = n!$ , $(2)_{n} = 2 \cdot 3 \dots (n + 1) = (n + 1)!$ より
$\frac{1}{n + 1} = \frac{n !}{( n + 1 )!} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}} .$

まとめる.
$c_{n} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}} \cdot \frac{4 ^{n} ( \frac{1}{2} ) _{n}}{n !} \cdot \frac{1}{8 ^{n}} = \frac{( \frac{1}{2} ) _{n} ( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !} (\frac{1}{2})^{n} .$
よって $S =_{2} F_{1} (\frac{1}{2}, 1; 2; \frac{1}{2})$ 。

項比による確認.
$\frac{c _{n + 1}}{c _{n}} = \frac{( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 )}{( n + 1 ) ^{2}} \cdot \frac{n + 1}{n + 2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{( n + \frac{1}{2} ) ( n + 1 )}{( n + 2 ) ( n + 1 )} \cdot \frac{1}{2}$
で、これは $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ の項比 $\frac{( n + a ) ( n + b )}{( n + c ) ( n + 1 )} z$ と $a = \frac{1}{2}, b = 1, c = 2, z = \frac{1}{2}$ で一致し、 $c_{0} = 1$ も一致する。分子の根 ${- a, - b, - 2}$ と ${- \frac{1}{2}, - c, - 1}$ を比べると $c = 2$ が決まり、 ${a, b} = {\frac{1}{2}, 1}$ となるので、 $a \leq b$ のもとで組は一意に決まる。また $∣ z ∣ = \frac{1}{2} < 1$ なので級数は収束する。

答えは $(a, b, c, z) = (\frac{1}{2}, 1, 2, \frac{1}{2})$ 。

別解

一般項を $t_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) 8 ^{n}} (n 2 n)$ とおく。

$(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{n ! ^{2}} = \frac{2 ^{n} ( 2 n - 1 )!!}{n !} = \frac{4 ^{n} ( 1/2 ) _{n}}{n !}$ （ $(1/2)_{n} = \frac{1 \cdot 3 \dots ( 2 n - 1 )}{2 ^{n}}$ より）。

また $(1)_{n} = n!$ , $(2)_{n} = (n + 1)!$ なので $\frac{1}{n + 1} = \frac{( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n}}$ 。

よって
$t_{n} = \frac{( 1/2 ) _{n} ( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !} \cdot \frac{4 ^{n}}{8 ^{n}} = \frac{( 1/2 ) _{n} ( 1 ) _{n}}{( 2 ) _{n} n !} (\frac{1}{2})^{n} .$
これは $_{2} F_{1} (a, b; c; z)$ の第 $n$ 項で ${a, b} = {1/2, 1}$ , $c = 2$ , $z = 1/2$ とした形である。 $a \leq b$ より $a = 1/2, b = 1$ 。

検算: $n = 0$ : $t_{0} = 1$ 、超幾何側も 1。 $n = 1$ : $t_{1} = \frac{1}{2 \cdot 8} \cdot 2 = \frac{1}{8}$ 。超幾何側は $\frac{( 1/2 ) ( 1 )}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ 。 $n = 2$ : $t_{2} = \frac{1}{3 \cdot 64} \cdot 6 = \frac{1}{32}$ 。超幾何側は $\frac{( 1/2 ) ( 3/2 ) \cdot 2}{6 \cdot 2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3/2}{12} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$ 。一致する。

答え: $(a, b, c, z) = (1/2, 1, 2, 1/2)$ 。

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