複素線積分とコーシーの積分定理

積分路を $z = z (t)$ とパラメータ表示して $\int_{C} f (z) d z$ を計算でき、 $\oint_{∣ z - a ∣ = r} (z - a)^{n} d z$ （ $n = - 1$ のとき $2 π i$ 、それ以外は $0$ ）や、正則な関数の閉曲線に沿う積分が $0$ になること（コーシーの積分定理）を使える

前提

正則関数とコーシー・リーマンの方程式（大学数学複素関数）
複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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複素数の指数関数・対数関数と分枝（大学数学複素関数）

説明

複素関数 $f (z)$ を、複素平面上の曲線 $C$ に沿って積分する方法（複素線積分）を学びます。曲線を実数のパラメータ $t$ で $z = z (t)$ と表せば、複素線積分はふつうの $t$ の定積分に直せます。さらに、円周上での $(z - a)^{n}$ の積分の値と、正則な関数の閉曲線上の積分が $0$ になるという「コーシーの積分定理」を組み合わせると、多くの閉曲線上の積分がほとんど計算なしで求まります。

なぜそうしてよいのか

定義. 曲線 $C$ が $z (t) = x (t) + i y (t) (α \leq t \leq β)$ と表され、 $z^{'} (t) = x^{'} (t) + i y^{'} (t)$ が連続であるとき、 $\int_{C} f (z) d z = \int_{α}^{β} f (z (t)) z^{'} (t) d t$ と定めます。右辺は実部と虚部をそれぞれ $t$ で積分すればよい、ふつうの定積分です。これは「 $d z$ を $z^{'} (t) d t$ に置き換える」置換積分と同じ考え方です。閉曲線 $C$ 上の積分は $\oint_{C}$ と書きます。向きは、とくに断らなければ反時計回り（内部を左に見て進む向き）です。

円周上の $(z - a)^{n}$ （ $n$ は整数）. 円 $∣ z - a ∣ = r$ を $z = a + r e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ と表すと、 $d z = i r e^{i t} d t$ です。よって $\oint_{∣ z - a ∣ = r} (z - a)^{n} d z = \int_{0}^{2 π} r^{n} e^{in t} \cdot i r e^{i t} d t = i r^{n + 1} \int_{0}^{2 π} e^{i (n + 1) t} d t$ となります。 $k = n + 1 \neq = 0$ のとき、 $e^{ik t} = cos k t + i sin k t$ を $0$ から $2 π$ まで積分すると、 $cos k t$ も $sin k t$ もちょうど $∣ k ∣$ 周期分なので $0$ です。 $k = 0$ （つまり $n = - 1$ ）のときは、被積分関数が $1$ なので積分は $2 π$ です。したがって、この積分は $n = - 1$ のときだけ $i \cdot 2 π = 2 π i$ になり、それ以外の整数 $n$ では $0$ です。半径 $r$ にはよりません。

コーシーの積分定理. $F^{'} (z) = f (z)$ をみたす関数 $F$ （原始関数）が曲線の近くで正則なら、合成関数の微分により $\frac{d}{d t} F (z (t)) = F^{'} (z (t)) z^{'} (t)$ が成り立ちます。よって $\int_{C} f d z = F (z (β)) - F (z (α))$ となり、閉曲線では始点と終点が一致するので $0$ になります。 $n \neq = - 1$ の $(z - a)^{n}$ は原始関数 $\frac{( z - a ) ^{n + 1}}{n + 1}$ を持つので $0$ になる、という上の結果もこれで説明できます。一方、 $n = - 1$ のときの原始関数の候補 $lo g (z - a)$ は、 $a$ のまわりを 1 周すると偏角が $2 π$ 増えて値がもとに戻りません。そのため、ずれの $2 π i$ が残ります。一般に、穴のない領域で正則な $f$ と、その領域内の閉曲線 $C$ について $\oint_{C} f (z) d z = 0$ が成り立ちます。これがコーシーの積分定理です。 $f^{'}$ が連続な場合の直観的な理由は次のとおりです。 $f = u + i v$ 、 $d z = d x + i d y$ とすると $\oint_{C} f d z = \oint_{C} (u d x - v d y) + i \oint_{C} (v d x + u d y)$ です。グリーンの定理（閉曲線上の線積分を内部の重積分に直す公式）を使うと、これは内部での $(- v_{x} - u_{y})$ と $(u_{x} - v_{y})$ の重積分になります。コーシー・リーマンの方程式から、どちらの被積分関数も $0$ です。

手順

積分路 $C$ をパラメータ表示する。円 $∣ z - a ∣ = r$ なら $z = a + r e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ （反時計回り）とおく
閉曲線上の積分なら、被積分関数を「 $C$ とその内部で正則な部分」と「内部に特異点をもつ $(z - a)^{n}$ 型の部分」に分ける
正則な部分は、コーシーの積分定理によって積分が $0$ になる
$(z - a)^{n}$ 型の部分は $\oint_{∣ z - a ∣ = r} (z - a)^{n} d z = 2 π i (n = - 1)$ 、 $0 (n \neq = - 1)$ を使う。この公式は中心 $a$ と円の中心が一致しているときに使える
公式が使えない場合は、定義 $\int_{C} f d z = \int_{α}^{β} f (z (t)) z^{'} (t) d t$ に代入して $t$ の定積分を直接計算する
各部分の結果を足し合わせる。向きが時計回りなら符号を反転する

例題

円 $C : ∣ z - i ∣ = 1$ （反時計回り）について、 $\oint_{C} (\frac{4}{z - i} + \frac{1}{( z - i ) ^{3}} + e^{z}) d z$ を求めよ。

例題の解答

手順1: $C$ は中心 $i$ 、半径 $1$ の円なので、 $z = i + e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ と表せる。
手順2: 被積分関数を、 $e^{z}$ （複素平面全体で正則）と、 $4 (z - i)^{- 1}$ 、 $(z - i)^{- 3}$ の 3 つに分ける。
手順3: $e^{z}$ は $C$ とその内部で正則なので、コーシーの積分定理より $\oint_{C} e^{z} d z = 0$ 。
手順4: 中心が $i$ で一致しているので公式が使える。 $n = - 1$ の項は $\oint_{C} \frac{4}{z - i} d z = 4 \cdot 2 π i = 8 π i$ 。 $n = - 3$ の項は $\oint_{C} (z - i)^{- 3} d z = 0$ 。
手順6: 足し合わせると $8 π i + 0 + 0 = 8 π i$ 。向きは反時計回りなので、符号はそのまま。

答え: $8 π i$

よくある誤り

$d z$ を $d t$ に置き換えてしまう誤り。例えば $\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{z} = \int_{0}^{2 π} e^{- i t} d t = 0$ とするのは間違い。正しくは $d z = i e^{i t} d t$ なので $\int_{0}^{2 π} e^{- i t} \cdot i e^{i t} d t = 2 π i$
内部に特異点があるのにコーシーの積分定理を使ってしまう誤り。例えば $\frac{1}{z}$ は $z = 0$ で正則でないので、 $\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{z} = 0$ とはできない（正しくは $2 π i$ ）。逆に、特異点が外にある $\oint_{∣ z - 3∣ = 1} \frac{d z}{z}$ では、 $\frac{1}{z}$ が円とその内部で正則なので、定理により $0$ になる
$n = - 1$ 以外の負の整数でも $2 π i$ が出ると思ってしまう誤り。例えば $\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{d z}{z ^{2}} = 2 π i$ とするのは間違い。正しくは、原始関数 $- \frac{1}{z}$ が円周上で 1 価なので $0$
向きを無視する誤り。円を時計回りに 1 周する場合は $z = a + r e^{- i t}$ となり、 $\oint (z - a)^{- 1} d z = - 2 π i$ になる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

コーシーの積分公式（大学数学複素関数）
留数定理による複素積分（大学数学複素関数）