この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

$i$ を虚数単位とする。 $C$ を、点 $2$ を中心とする半径 $3$ の円 $∣ z - 2∣ = 3$ を反時計回りに 1 周する閉曲線とする。次の複素線積分の値を求めよ。
$\oint_{C} (\frac{4}{z - 2} + (z - 2)^{3} + cos z) d z$

この問題で使うもの

複素線積分とコーシーの積分定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（61 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「複素線積分とコーシーの積分定理」を使う。被積分関数を 3 つの項に分け、 $(z - 2)^{n}$ の形の項と、全平面で正則な項とで扱い方を変える。

ヒント 2

$z = 2 + 3 e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ とおくと、 $\oint_{C} (z - 2)^{n} d z$ は $n = - 1$ のとき $2 π i$ 、それ以外のとき $0$ になる。 $cos z$ は全平面で正則なので、コーシーの積分定理が使える。

ヒント 3

$d z = 3 i e^{i t} d t$ より $\oint_{C} \frac{d z}{z - 2} = \int_{0}^{2 π} \frac{3 i e ^{i t}}{3 e ^{i t}} d t = \int_{0}^{2 π} i d t$ であり、 $\oint_{C} (z - 2)^{3} d z = 0$ 、 $\oint_{C} cos z d z = 0$ である。あとは第 1 項の係数 $4$ を掛けて足し合わせる。

答えと解説

答えを見る

8 π i

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

積分の線形性により、3 つの項に分けて計算する。
$\oint_{C} (\frac{4}{z - 2} + (z - 2)^{3} + cos z) d z = 4 \oint_{C} \frac{d z}{z - 2} + \oint_{C} (z - 2)^{3} d z + \oint_{C} cos z d z$

第 1 項と第 2 項（パラメータ表示による計算）

$C$ を $z = 2 + 3 e^{i t} (0 \leq t \leq 2 π)$ とパラメータ表示すると、 $d z = 3 i e^{i t} d t$ である。整数 $n$ に対して
$\oint_{C} (z - 2)^{n} d z = \int_{0}^{2 π} (3 e^{i t})^{n} \cdot 3 i e^{i t} d t = 3^{n + 1} i \int_{0}^{2 π} e^{i (n + 1) t} d t$
となる。

$n = - 1$ のとき： $e^{i (n + 1) t} = 1$ なので、値は $3^{0} \cdot i \cdot 2 π = 2 π i$ である。
$n \neq = - 1$ のとき： $\int_{0}^{2 π} e^{i (n + 1) t} d t = [\frac{e ^{i (n + 1) t}}{i ( n + 1 )}]_{0}^{2 π} = \frac{1 - 1}{i ( n + 1 )} = 0$ なので、値は $0$ である。

したがって
$4 \oint_{C} \frac{d z}{z - 2} = 4 \cdot 2 π i = 8 π i, \oint_{C} (z - 2)^{3} d z = 0$
である。

第 3 項（コーシーの積分定理）

$cos z = \frac{e ^{i z} + e ^{- i z}}{2}$ は複素平面全体で正則である。したがって、 $C$ とその内部を含む領域でも正則なので、コーシーの積分定理により
$\oint_{C} cos z d z = 0$
である。

まとめ

以上を合わせると
$\oint_{C} (\frac{4}{z - 2} + (z - 2)^{3} + cos z) d z = 8 π i + 0 + 0 = 8 π i$
となる。

別解

積分を項ごとに計算する。
1. $\oint_{C} \frac{4}{z - 2} d z$ ： $C$ は点 2 を中心とする円なので、 $z = 2 + 3 e^{i θ}$ ( $0 \leq θ \leq 2 π$ ) とおくと $d z = 3 i e^{i θ} d θ$ となる。したがって $\oint_{C} \frac{d z}{z - 2} = \int_{0}^{2 π} i d θ = 2 π i$ 。よって $4 \cdot 2 π i = 8 π i$ 。
2. $\oint_{C} (z - 2)^{3} d z$ ：整関数なので、閉曲線上の積分は 0（原始関数 $(z - 2)^{4} /4$ をもつ）。
3. $\oint_{C} cos z d z$ ：整関数なので、コーシーの積分定理より 0（原始関数 $sin z$ ）。

合計は $8 π i$ 。
検算：被積分関数の $C$ の内部での特異点は $z = 2$ のみで、留数は $4$ である（他の項は正則）。留数定理より $2 π i \cdot 4 = 8 π i$ となり、一致する。

複素関数の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題