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複素関数の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学複素関数

円 $C : ∣ z - 1∣ = 1$ を反時計回りに一周する積分路とする。次の複素線積分の値を求めよ。 $\oint_{C} \frac{e ^{3 z}}{( z - 1 ) ^{2}} d z$

この問題で使うもの

コーシーの積分公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（62 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

コーシーの積分公式の導関数の形 $\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n !} f^{(n)} (a)$ を使います。

ヒント 2

$f (z) = e^{3 z}$ 、 $a = 1$ 、 $n = 1$ とみなせます。 $f$ は正則で、 $a = 1$ は円 $C$ の内部（中心）にあります。

ヒント 3

$f^{'} (z) = 3 e^{3 z}$ より $f^{'} (1) = 3 e^{3}$ です。これを $\frac{2 π i}{1 !} f^{'} (1)$ に代入します。

答えと解説

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6 π i e^{3}

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解説を読む

方針：コーシーの積分公式（導関数の形）
$\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n !} f^{(n)} (a)$
を使う。これは、 $f (z)$ が $C$ とその内部で正則で、点 $a$ が $C$ の内部にあるときに成り立つ。

手順 1：公式の形に合わせる。 被積分関数 $\frac{e ^{3 z}}{( z - 1 ) ^{2}}$ と公式を見比べると
$f (z) = e^{3 z}, a = 1, n + 1 = 2 より n = 1$
である。

手順 2：公式が使える条件を確かめる。 $f (z) = e^{3 z}$ は複素平面全体で正則である。また $a = 1$ は円 $∣ z - 1∣ = 1$ の中心なので、 $C$ の内部にある。 $C$ は反時計回りである。よって公式が使える。

手順 3：導関数を計算する。 $f^{'} (z) = 3 e^{3 z}$ なので $f^{'} (1) = 3 e^{3}$ 。

手順 4：公式に代入する。
$\oint_{C} \frac{e ^{3 z}}{( z - 1 ) ^{2}} d z = \frac{2 π i}{1 !} f^{'} (1) = 2 π i \cdot 3 e^{3} = 6 π i e^{3}$

答え： $6 π i e^{3}$

別解

被積分関数 $f (z) = \frac{e ^{3 z}}{( z - 1 ) ^{2}}$ の特異点は $z = 1$ のみで、円 $C : ∣ z - 1∣ = 1$ の中心にあたり、 $C$ の内部にある。 $g (z) = e^{3 z}$ は全平面で正則なので、コーシーの積分公式（導関数版）より
$\oint_{C} \frac{g ( z )}{( z - 1 ) ^{2}} d z = 2 π i g^{'} (1) .$
$g^{'} (z) = 3 e^{3 z}$ より $g^{'} (1) = 3 e^{3}$ 。よって積分値は $6 π i e^{3}$ 。
検算： $e^{3 z} = e^{3} e^{3 (z - 1)} = e^{3} (1 + 3 (z - 1) + \dots)$ なので $f (z)$ のローラン展開における $(z - 1)^{- 1}$ の係数は $3 e^{3}$ 。留数は $3 e^{3}$ で、積分は $2 π i \cdot 3 e^{3} = 6 π i e^{3}$ となり一致する。

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