複素関数の問題

$f(z)=\frac{z+5}{(z-1)(z+3)}$ とおきます。

手順 1：特異点を求める。
分母が $0$ になる点は $z=1$ と $z=-3$ です。どちらの点でも分子は $0$ にならない（$1+5=6\ne 0$、$-3+5=2\ne 0$）ので、これらはいずれも 1 位の極です。それ以外の点では $f$ は正則です。

手順 2：円 $C$ の内部にある特異点を選ぶ。
$|1|=1<2$ なので $z=1$ は $C$ の内部にあります。
$|-3|=3>2$ なので $z=-3$ は $C$ の外部にあり、積分には関係しません。

手順 3：内部の極での留数を求める。
$z=1$ は 1 位の極なので
$${\mathrm{Res}}_{z=1}f(z)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)f(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z+5}{z+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

手順 4：留数定理を使う。
$f$ は $C$ 上およびその内部で $z=1$ を除いて正則で、$C$ は反時計回りの閉曲線なので、留数定理より
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot {\mathrm{Res}}_{z=1}f(z)=2\pi i\cdot \frac{3}{2}=3\pi i.$$

よって、求める値は $3\pi i$ です。

被積分関数 $f(z)=\frac{z+5}{(z-1)(z+3)}$ の極は $z=1$ と $z=-3$ である。$|1|=1<2$ なので $z=1$ は $C$ の内部にあり、$|-3|=3>2$ なので $z=-3$ は外部にある。したがって内部の極は $z=1$ のみ。

$z=1$ は 1 位の極なので、留数は
$$\mathrm{Res}(f,1)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)f(z)=\frac{1+5}{1+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$

留数定理より
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\cdot \frac{3}{2}=3\pi i.$$

検算：部分分数分解すると $\frac{z+5}{(z-1)(z+3)}=\frac{3/2}{z-1}+\frac{-1/2}{z+3}$ である。通分すると $\frac{3}{2}(z+3)-\frac{1}{2}(z-1)=z+5$ となり一致する。$\frac{1}{z+3}$ は $|z|\le 2$ で正則なので積分は 0 であり、$\frac{3/2}{z-1}$ の積分は $\frac{3}{2}\cdot 2\pi i=3\pi i$ となる。よって一致する。