複素関数の問題

方針 留数定理
$${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum (\text{C の内部にある特異点での留数})$$
を使う。

1. 特異点を求め、$C$ の内部にあるものを選ぶ

$f(z)=\frac{z+2}{z(z-1)(z-3)}$ の特異点は、分母が $0$ になる $z=0,1,3$ である。分子 $z+2$ はこれらの点で $0$ にならないので、いずれも 1 位の極である。

$|0|=0<2$, $|1|=1<2$, $|3|=3>2$ より、$C$ の内部にあるのは $z=0$ と $z=1$ の 2 つである。$z=3$ は外部にあるので考えなくてよい。

2. 各極での留数を求める

1 位の極 $a$ では ${\mathrm{Res}}_{z=a}f(z)={\lim }_{z\to a}(z-a)f(z)$ である。

- $z=0$:
$${\mathrm{Res}}_{z=0}f(z)=\underset{z\to 0}{\lim }\frac{z+2}{(z-1)(z-3)}=\frac{2}{(-1)(-3)}=\frac{2}{3}$$
- $z=1$:
$${\mathrm{Res}}_{z=1}f(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{z+2}{z(z-3)}=\frac{3}{1\cdot (-2)}=-\frac{3}{2}$$

3. 留数定理を適用する

内部の留数の和は
$$\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{5}{6}$$
よって
$${\oint }_C\frac{z+2}{z(z-1)(z-3)}dz=2\pi i\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)=-\frac{5\pi i}{3}$$

被積分関数 $f(z)=\frac{z+2}{z(z-1)(z-3)}$ の極は $z=0,1,3$ で、いずれも1位の極である。円 $|z|=2$ の内部にあるのは $z=0,1$ で、$z=3$ は外部にある。

留数を求める。
$z=0$: $\mathrm{Res}=\frac{0+2}{(0-1)(0-3)}=\frac{2}{3}$。
$z=1$: $\mathrm{Res}=\frac{1+2}{1\cdot (1-3)}=-\frac{3}{2}$。

留数の和は $\frac{2}{3}-\frac{3}{2}=\frac{4-9}{6}=-\frac{5}{6}$。

留数定理より、積分値は $2\pi i\cdot \left(-\frac{5}{6}\right)=-\frac{5\pi i}{3}$。

検算: 3 での留数は $\frac{5}{3\cdot 2}=\frac{5}{6}$。全留数の和は $0$ になるはずで、$\frac{2}{3}-\frac{3}{2}+\frac{5}{6}=0$ となり、無限遠での留数が 0 であること（$f\sim z^{-2}$）と整合する。