コーシーの積分公式

$\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n !} f^{(n)} (a)$ を使って、 $\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{e ^{z}}{( z - 1 ) ^{2}} d z$ のような積分の値を求められる

前提

複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）

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算数中学高校大学大学院

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複素線積分とコーシーの積分定理（大学数学複素関数）

説明

コーシーの積分公式を使うと、閉曲線に沿う複素線積分の値を、被積分関数の分子にある正則な関数 $f$ の 1 点での値や微分係数から求められます。パラメータ表示をして積分を直接計算する必要はありません。 $\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z$ の形をした積分で、分母が $0$ になる点 $a$ が閉曲線 $C$ の内側にある場面で使います。複素関数論での積分計算の基本道具で、後に学ぶ留数定理の土台にもなります。

なぜそうしてよいのか

$C$ は自分自身と交わらない閉曲線で、向きは反時計回り（正の向き）とします。 $f$ は $C$ とその内部を含む領域で正則、 $a$ は $C$ の内部の点とします。まず $n = 0$ の場合を考えます。 $\frac{f ( z )}{z - a}$ は $z = a$ 以外では正則です。 $C$ と小さな円 $∣ z - a ∣ = r$ にはさまれた部分にコーシーの積分定理を使うと、 $C$ 上の積分は小円上の積分に等しくなります。そこで $f (z) = f (a) + (f (z) - f (a))$ と分けます。第 1 項からは $f (a) \oint_{∣ z - a ∣ = r} \frac{d z}{z - a} = 2 π i f (a)$ が出ます。第 2 項の $\frac{f ( z ) - f ( a )}{z - a}$ は $a$ の近くで $f^{'} (a)$ に近づくので有界です。その大きさが $M$ 以下なら、積分の大きさは $M \cdot 2 π r$ 以下で、 $r \to 0$ のとき $0$ に近づきます。一方、積分の値は $r$ によらないので、第 2 項の積分はちょうど $0$ です。こうして $\oint_{C} \frac{f ( z )}{z - a} d z = 2 π i f (a)$ が得られます。

この式は $C$ の内部のどの点 $a$ でも成り立ちます。両辺を $a$ で $n$ 回微分し、右辺の積分記号の中で微分します（ $z$ は $C$ 上を動き、 $a$ は内部にあるので、 $z - a$ は $0$ から離れていて、この操作は許されます）。 $\frac{d ^{n}}{d a ^{n}} (z - a)^{- 1} = n! (z - a)^{- n - 1}$ なので、 $\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n !} f^{(n)} (a)$ となります。

直観的には、テイラー展開で考えるとわかりやすいです。 $f (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (z - a)^{k}$ を $(z - a)^{n + 1}$ で割ると、各項は $(z - a)^{k - n - 1}$ になります。小円上で積分すると、 $\oint (z - a)^{m} d z$ は $m = - 1$ のときだけ $2 π i$ で、それ以外は $0$ です。したがって $k = n$ の項だけが残り、 $\frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} \cdot 2 π i$ になります。 $n!$ で割る理由は、テイラー係数の分母にある $k!$ です。

手順

分母が $0$ になる点 $a$ を求め、それが閉曲線 $C$ の内部にあることを確かめる（外部にあれば、被積分関数は $C$ とその内部で正則なので、コーシーの積分定理により積分は $0$ ）。
被積分関数を $\frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}}$ の形に整え、 $f (z)$ が $C$ とその内部で正則であることを確かめる。分母の指数 $n + 1$ から $n$ を読み取る。
$f$ の第 $n$ 次導関数 $f^{(n)} (z)$ を計算し、 $z = a$ を代入して $f^{(n)} (a)$ を求める。
公式 $\oint_{C} \frac{f ( z )}{( z - a ) ^{n + 1}} d z = \frac{2 π i}{n !} f^{(n)} (a)$ に代入する（ $C$ は反時計回り。時計回りなら符号を反転する）。

例題

円 $∣ z ∣ = 2$ を反時計回りに 1 周する積分路について、 $\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{e ^{2 z}}{( z - 1 ) ^{3}} d z$ の値を求めよ。

例題の解答

手順 1: 分母が $0$ になるのは $z = 1$ で、 $∣1∣ = 1 < 2$ なので $a = 1$ は円 $∣ z ∣ = 2$ の内部にある。

手順 2: 被積分関数は $\frac{f ( z )}{( z - 1 ) ^{3}}$ の形で、 $f (z) = e^{2 z}$ は複素平面全体で正則である。分母の指数は $3 = n + 1$ なので $n = 2$ 。

手順 3: $f^{'} (z) = 2 e^{2 z}$ 、 $f^{''} (z) = 4 e^{2 z}$ なので、 $f^{''} (1) = 4 e^{2}$ 。

手順 4: 公式より $\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{e ^{2 z}}{( z - 1 ) ^{3}} d z = \frac{2 π i}{2 !} \cdot 4 e^{2} = 4 π i e^{2} .$

答え: $4 π i e^{2}$

よくある誤り

$n!$ で割るのを忘れてしまう誤り。例えば $\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{e ^{2 z}}{( z - 1 ) ^{3}} d z = 2 π i f^{''} (1) = 8 π i e^{2}$ とするのは誤りです。正しくは $\frac{2 π i}{2 !} f^{''} (1) = 4 π i e^{2}$ です。
分母の指数をそのまま微分の回数にしてしまう誤り。 $(z - 1)^{3}$ を見て $f^{'''}$ を使うのは誤りです。指数は $n + 1$ なので、正しくは $n = 2$ で $f^{''} (a)$ を使います。
分母の係数をくくり出さずに公式を当てはめてしまう誤り。 $\oint_{∣ z ∣ = 2} \frac{e ^{z}}{( 2 z - 2 ) ^{2}} d z$ を $2 π i e$ とするのは誤りです。正しくは $(2 z - 2)^{2} = 4 (z - 1)^{2}$ と変形し、 $f (z) = \frac{e ^{z}}{4}$ として $\frac{2 π i}{1 !} \cdot \frac{e}{4} = \frac{π i e}{2}$ です。
点 $a$ が $C$ の外部にあるのに公式を使ってしまう誤り。 $\oint_{∣ z ∣ = 1} \frac{e ^{z}}{( z - 3 ) ^{2}} d z = 2 π i e^{3}$ とするのは誤りです。正しくは、 $3$ は $∣ z ∣ = 1$ の外部にあり、被積分関数は $∣ z ∣ \leq 1$ で正則なので、コーシーの積分定理により値は $0$ です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

最大値原理（大学院数学複素解析・リーマン面）
鞍点法による係数の漸近形（大学院数学特殊関数・漸近解析）