最大値原理

有界領域の閉包で連続、内部で正則な $f$ について $∣ f ∣$ の最大値が境界でとられることを使い、閉円板や閉領域での $∣ f (z) ∣$ （や調和関数 $Re f$ ）の最大値を、境界上の最大化に帰着させて求められる

前提

コーシーの積分公式（大学数学複素関数）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）

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算数中学高校大学大学院

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2点間の距離と内分点・外分点（数学II 図形と方程式）
複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）

説明

最大値原理は「有界な領域 $D$ （連結な開集合）の閉包 $D$ で連続、 $D$ で正則な関数 $f$ について、 $∣ f (z) ∣$ の $D$ での最大値は境界 $\partial D$ の上でとられる」という定理です。これを使うと、閉円板などの 2 次元の範囲で $∣ f (z) ∣$ の最大値を求める問題を、境界の曲線の上（円なら $z = e^{i θ}$ と 1 変数で表せる）での最大化に置き換えられます。 $Re f$ の最大値についても同じことが成り立ちます。

なぜそうしてよいのか

出発点はコーシーの積分公式です。 $a \in D$ と、閉円板 $∣ z - a ∣ \leq r$ が $D$ に含まれるような $r > 0$ をとると、 $f (a) = \frac{1}{2 π i} \oint_{∣ z - a ∣ = r} \frac{f ( z )}{z - a} d z$ です。 $z = a + r e^{i θ}$ とおくと $d z = i r e^{i θ} d θ$ なので
$f (a) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} f (a + r e^{i θ}) d θ$
となり、中心での値は円周上の値の平均です。いま $∣ f ∣$ が $D$ の内部の点 $a$ で $D$ 全体での最大値 $M$ をとったとすると、 $M = ∣ f (a) ∣ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∣ f (a + r e^{i θ}) ∣ d θ \leq M$ です。等号が成り立つので、連続関数 $∣ f ∣ \leq M$ は円周上でずっと $M$ に等しくなければなりません（どこかで $M$ より小さいと平均が $M$ 未満になる）。これがどの小さな $r$ でも成り立つので、 $a$ の近くで $∣ f ∣ = M$ が一定です。

$∣ f ∣$ が一定なら $f$ も一定です。実際 $f = u + i v$ として $u^{2} + v^{2} = M^{2}$ を $x, y$ で偏微分すると $u u_{x} + v v_{x} = 0$ 、 $u u_{y} + v v_{y} = 0$ で、コーシー・リーマンの方程式 $u_{y} = - v_{x}$ , $v_{y} = u_{x}$ を使うと後者は $v u_{x} - u v_{x} = 0$ になります。 $M \neq = 0$ ならこの連立方程式の係数の行列式は $u^{2} + v^{2} = M^{2} \neq = 0$ なので $u_{x} = v_{x} = 0$ 、よって $f^{'} = u_{x} + i v_{x} = 0$ で $f$ は $a$ の近くで定数です（ $M = 0$ なら $f = 0$ ）。さらに ${z \in D : f (z) = f (a)}$ は今の議論で開集合、連続性で $D$ の中で閉集合なので、 $D$ が連結であることから $D$ 全体になります。つまり「内部で最大になるのは $f$ が定数のときだけ」で、どちらの場合も最大値は境界でもとられます（ $D$ は有界閉集合なので最大値は存在します）。

調和関数 $Re f$ については、 $g = e^{f}$ を考えると $∣ g ∣ = e^{Re f}$ で、 $e^{t}$ は増加関数なので、 $∣ g ∣$ の最大値原理から $Re f$ の最大値も境界でとられます。

手順

$f$ が有界領域 $D$ で正則、 $D$ で連続であることを確かめる（多項式や、 $D$ の閉包に分母の零点がない有理式など）。
最大値原理により、 $max_{D} ∣ f ∣ = max_{\partial D} ∣ f ∣$ と境界上の最大化に置き換える。
境界をパラメータで表す。円 $∣ z - a ∣ = r$ なら $z = a + r e^{i θ}$ （ $0 \leq θ < 2 π$ ）。
$∣ f (z) ∣^{2}$ を $θ$ の実関数として計算する。 $∣ e^{i θ} ∣ = 1$ を使って $e^{i θ}$ をくくり出し、 $cos θ$ の式にまとめると扱いやすい。
その実関数の最大値を、変数の範囲（ $- 1 \leq cos θ \leq 1$ など）に注意して求め、最後に平方根をとる。

例題

閉円板 $∣ z ∣ \leq 1$ における $∣ z^{2} + z - 3∣$ の最大値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $f (z) = z^{2} + z - 3$ は多項式なので、複素数平面全体で正則であり、特に $∣ z ∣ < 1$ で正則、 $∣ z ∣ \leq 1$ で連続である。

手順 2: 最大値原理より、 $max_{∣ z ∣ \leq 1} ∣ f (z) ∣ = max_{∣ z ∣ = 1} ∣ f (z) ∣$ 。

手順 3: $z = e^{i θ}$ とおく。

手順 4: $∣ e^{i θ} ∣ = 1$ より
$∣ f (e^{i θ}) ∣ = ∣ e^{i θ} ∣ ∣ e^{i θ} + 1 - 3 e^{- i θ} ∣ = ∣ e^{i θ} + 1 - 3 e^{- i θ} ∣.$
$c = cos θ$ , $s = sin θ$ とすると $e^{i θ} + 1 - 3 e^{- i θ} = (1 - 2 c) + 4 s i$ なので
$∣ f ∣^{2} = (1 - 2 c)^{2} + 16 s^{2} = (1 - 2 c)^{2} + 16 (1 - c^{2}) = 17 - 4 c - 12 c^{2} .$

手順 5: $h (c) = - 12 c^{2} - 4 c + 17 = - 12 (c + \frac{1}{6})^{2} + \frac{52}{3}$ で、 $c = - \frac{1}{6}$ は $- 1 \leq c \leq 1$ の範囲にあるから、 $h$ の最大値は $\frac{52}{3}$ （端では $h (1) = 1$ , $h (- 1) = 9$ でこれより小さい）。よって
$∣ z ∣ \leq 1 max ∣ z^{2} + z - 3∣ = \frac{52}{3} = \frac{2 39}{3} .$
（三角不等式による上からの評価 $1 + 1 + 3 = 5$ は等号が成り立たず、最大値ではない。）

答え: $\frac{2 39}{3}$

よくある誤り

最小値も境界でとられるとしてしまう誤り。例えば $f (z) = z$ は $∣ z ∣ \leq 1$ で $∣ f ∣$ の最小値 $0$ を内部の $z = 0$ でとる。最小値についての同様の主張は、 $f$ が $D$ で零点をもたないとき（ $\frac{1}{f}$ に最大値原理を使えるとき）に限る。
領域が有界でなくても成り立つとしてしまう誤り。右半平面 $Re z > 0$ で $f (z) = e^{z}$ は境界（虚軸）上で $∣ e^{i y} ∣ = 1$ だが、 $∣ e^{x} ∣$ は $x \to \infty$ でいくらでも大きくなる。定理は有界領域の閉包で連続な関数についてのもの。
正則でない関数に使ってしまう誤り。 $∣ z ∣ \leq 1$ で $∣1 - ∣ z ∣^{2} ∣$ （ $z$ の正則関数の絶対値ではない）は内部の $z = 0$ で最大値 $1$ をとり、境界では $0$ 。また分母が閉円板内で $0$ になる $\frac{1}{z - \frac{1}{2}}$ なども、 $∣ z ∣ \leq 1$ では使えない。
境界上の最大化で、 $cos θ$ の範囲を忘れて頂点の値をそのまま答える誤り。例えば $∣ f ∣^{2} = 17 - 4 c - 12 c^{2}$ の頂点が $c = - \frac{1}{6}$ にあることを確かめずに使うのは危険で、頂点が $- 1 \leq c \leq 1$ の外にあるときは端点 $c = \pm 1$ での値が最大になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（大学院の講義の例題レベル）
閉単位円板 $D = {z \in C ∣ ∣ z ∣ \leq 1}$ 上で、関数
$f (z) = z^{2} - z + 1$
を考える。 $D$ における $∣ f (z) ∣$ の最大値を求めよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

シュワルツの補題と零点の条件（大学院数学複素解析・リーマン面）