複素解析・リーマン面の問題

最大値原理を使う. $f(z)=z^2-z+1$ は多項式なので $\mathbb{C}$ 全体で正則であり、特に有界領域 $\mathbb{D}=\{|z|<1\}$ の内部で正則、閉包 $\overline{\mathbb{D}}$ で連続である。最大値原理より、$\overline{\mathbb{D}}$ における $|f|$ の最大値は境界 $|z|=1$ の上でとられる。したがって、円周 $|z|=1$ 上での $|f(z)|$ の最大値を求めればよい。

境界上の最大化. $|z|=1$ 上の点を $z=e^{i\theta }$ $(0\le \theta <2\pi )$ と表す。$z\ne 0$ なので
$$f(z)=z\left(z-1+\frac{1}{z}\right)=z\left(e^{i\theta }+e^{-i\theta }-1\right)=z(2\cos \theta -1).$$
ここで $e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta$ を使った。$|z|=1$ だから
$$|f(e^{i\theta })|=|2\cos \theta -1|.$$
$-1\le \cos \theta \le 1$ より $-3\le 2\cos \theta -1\le 1$ なので、$|2\cos \theta -1|\le 3$ であり、等号は $\cos \theta =-1$、すなわち $\theta =\pi$（$z=-1$）のときに成り立つ。実際 $f(-1)=1+1+1=3$。

よって $\overline{\mathbb{D}}$ における $|f(z)|$ の最大値は $3$ である。

$f$ は整関数なので、最大値原理より $|f|$ の閉単位円板上の最大値は境界 $|z|=1$ で達成される。
$z=e^{it}$ ($0\le t\le 2\pi$) とおくと $|z|=1$ より
$|f(z)|=|z|\cdot |z-1+z^{-1}|=|e^{it}+e^{-it}-1|=|2\cos t-1|$。
$-1\le \cos t\le 1$ より $2\cos t-1\in [-3,1]$ なので $|2\cos t-1|$ の最大値は $3$（$\cos t=-1$、すなわち $z=-1$ のとき）。
検算: $f(-1)=1+1+1=3$。また $z=1$ では $f(1)=1$ で、これは小さい。内部の臨界点 $z=\frac{1}{2}$ では $f=\frac{3}{4}$ で 3 より小さい。
よって最大値は $3$。